Question

Найдите корни уравнения 5tg²x+13tgx=6

Answer 1

Ответ:

5tg^2(x)+13tg(x)=6

tg(x)=y

5y^2+13y-6=0

D=13^2-4*5*(-6)=169+120=289

y1= (-13+17)/2*5=4/10=0.4

y2=(-13-17)/2*5=-30/10=-3

tg(x)=0.4 x=+/- arctg(0.4)+Pi*n, n-целое

tg(x)=-3 x=+/- arctg(-3)+Pi*n, n-целое

Answer 2

Для решения уравнения 5tg²x + 13tgx = 6 сначала давайте заменим тангенс на синус и косинус, используя тождество:

tg(x) = sin(x) / cos(x).

Теперь уравнение будет выглядеть следующим образом:

5(sin(x)/cos(x))² + 13(sin(x)/cos(x)) - 6 = 0.

Умножим обе стороны уравнения на cos²(x), чтобы избавиться от дробей:

5sin²(x) + 13sin(x)cos(x) - 6cos²(x) = 0.

Далее, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin²(x) + cos²(x) = 1, sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Преобразуем уравнение:

5(1 - cos²(x)) + 13(2sin(x)cos(x)) - 6cos²(x) = 0, 5 - 5cos²(x) + 26sin(x)cos(x) - 6cos²(x) = 0, 11cos²(x) - 26sin(x)cos(x) - 5 = 0.

Теперь можно попробовать разложить 11cos²(x) - 26sin(x)cos(x) в произведение:

11cos²(x) - 26sin(x)cos(x) = cos(x)(11cos(x) - 26sin(x)).

Уравнение теперь выглядит так:

cos(x)(11cos(x) - 26sin(x)) - 5 = 0.

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1. cos(x) = 0: Это означает, что x = (π/2) + kπ, где k - целое число.

2. 11cos(x) - 26sin(x) = 0: Делаем замену sin(x) = (1/c)cos(x), где c ≠ 0, так как это бы привело к сингулярности. Подставляем:

11cos(x) - 26(1/c)cos²(x) = 0, 11c - 26cos(x) = 0, cos(x) = 11c/26.

Это означает, что x = arccos(11c/26) + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, уравнение имеет два набора решений:

1. x = (π/2) + kπ.
2. x = arccos(11c/26) + 2kπ, где c ≠ 0, k - целое число.