Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=x²+ 2, y=x+4

Answer 1

Ответ:  $\bold{4,5}$.

Решение:    

Сначала построим графики обеих функций: параболы $y=x^2+2$ и обычной прямой $y=x+4$ (чертеж смотрите ниже). Точками пересечения будут являться $(-1;3)$ и $(2;6)$ (для того, чтобы их найти, просто решим квадратное уравнение $x^2+2=x-4$ или же $x^2-x-2=0$ теоремой Виета).

• Чтобы найти искомую площадь, мы найдем площадь под графиком (выделено светло-голубым и желтым цветом) и площадь обведенной серым трапеции. После из второго вычтем первое и получим то, что нам нужно.

1). Площадь трапеции.

$S_{tr} = 3 \cdot 3 + \dfrac{3 \cdot 3}{2} = 13,5.$

2). Площадь под графиком.

Нам понадобится следующая формула (Ньютона-Лейбница):

$\displaystyle \int\limits^a_b {f(x)} \, dx = F(x) \; |_{a}^{b} = F(b)-F(a).$

Мы будем искать площадь на отрезке $[-1;2]$:

$\displaystyle \int\limits^2_{-1} {(x^2+2)} \, dx = \bigg (\frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot x \bigg ) dx \;|_{-1}^{\;2} = \bigg (\frac{x^3}{3} + 2x \bigg ) dx \;|_{-1}^{\;2} = \\\\=\bigg (\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 \bigg ) - \bigg (\frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1) \bigg ) = \frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{3} + 2 = 2 + 3 + 4 = 9.$

3). Разность - искомая площадь.

$S = 13,5 - 9 = 4,5.$

Задача решена!

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої цими двома функціями, потрібно визначити точки їх перетину та обчислити відповідні інтеграли. Спершу знайдемо точки перетину:

При рівності y = x² + 2 та y = x + 4 отримуємо: x² + 2 = x + 4.

Помістимо все на одну сторону рівності: x² - x - 2 = 0.

Факторизуємо квадратне рівняння: (x - 2)(x + 1) = 0.

Отже, маємо дві точки перетину: x = 2 та x = -1.

Тепер можемо обчислити площу фігури. Ця фігура обмежена двома кривими: y = x² + 2 зліва та y = x + 4 справа. Тому площу можна знайти як різницю між відповідними інтегралами:

Площа = ∫[a, b] (x + 4) dx - ∫[a, b] (x² + 2) dx,

де a = -1 і b = 2.

Розрахунок інтегралів:

∫(x + 4) dx = (x²/2 + 4x) + C, ∫(x² + 2) dx = (x³/3 + 2x) + C.

Тепер визначимо значення інтегралів на межах [a, b] і знайдемо їхню різницю:

Площа = [(2²/2 + 4 * 2) - ((2³/3 + 2 * 2)) - ((-1)²/2 + 4 * (-1)) - ((-1)³/3 + 2 * (-1))] = [8 - (8/3) + 0 + 6] = 5.33 (приблизно).

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x² + 2 та y = x + 4, дорівнює приблизно 5.33 квадратних одиниць.