Question

Верно ли, что функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 возрастает на всей числовой прямой

Answer 1

Ответ:

Ответ: х1=3-√10;х2=3+√10;

Answer 2

Для определения возрастания или убывания функции на числовой прямой, необходимо проанализировать её производную. В данном случае функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 имеет производную f'(x), которая равна:

f'(x) = 6x² - 6x + 6.

Для того чтобы узнать, в каких интервалах производная положительна (функция возрастает), а в каких отрицательна (функция убывает), можно решить неравенство:

6x² - 6x + 6 > 0.

Давайте решим это неравенство:

1. Начнем с факторизации: 6(x² - x + 1).
2. Рассмотрим дискриминант квадратного трёхчлена: D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3.
3. Так как дискриминант отрицателен, уравнение x² - x + 1 = 0 не имеет действительных корней.
4. Значит, x² - x + 1 всегда положительно, так как его значения не пересекают ось x.

Таким образом, 6(x² - x + 1) всегда положительно, и следовательно, производная f'(x) = 6x² - 6x + 6 всегда положительна на всей числовой прямой.

Следовательно, функция f(x) = 2x³ - 3x² + 6x + 1 будет возрастать на всей числовой прямой.