Question

Доведіть , що функція f(x)=6-4x-x^2-x^2/3 на множині R є спадною срочно с обьяснением пожалуйста ​

Answer 1

Доведіть , що функція f(x)=6-4x-x^2-x^3/3 на множині R є спадною

Объяснение:   f ' (x) = ( 6-4x-x²-x³/3 ) ' =6 ' -(4x) ' -(x²) ' - ( x³/3 ) ' =

0 - 4 -2x -3x²/3 = -x² -2x -4 = -(x ² +-2x +1)  - 3 = - (x+1)²  -3  =

- ( (x+1)² +3)  < 0  , следовательно  функция  убывающая для любого значения x ∈ D(f)    ;   D(f) :  x ∈ ( -∞ ; +∞)      ||  x ∈ R ||

D(f) _Область Определения Функции   ( ООФ ).

Answer 2

Для того чтобы довести, что функция f(x) = 6 - 4x - x^2 - x^(2/3) є спадною на множині R (всіх дійсних числах), ми можемо використати похідну цієї функції. Функція буде спадною, якщо її похідна буде від'ємною на всьому діапазоні значень x.

Спершу знайдемо похідну функції f(x):

f(x) = 6 - 4x - x^2 - x^(2/3)

f'(x) = -4 - 2x - (2/3)x^(-1/3)

Тепер перевіримо знак похідної на всьому діапазоні дійсних чисел. Для цього розглянемо різні можливі випадки:

1. Якщо x > 0: Тут f'(x) = -4 - 2x - (2/3)x^(-1/3). Всі доданки в похідній від'ємні для позитивних значень x, отже, f'(x) < 0.

2. Якщо x < 0: Тут f'(x) = -4 - 2x - (2/3)x^(-1/3). Перший та другий доданки в похідній від'ємні для від'ємних значень x, але третій доданок (2/3)x^(-1/3) буде додатнім, оскільки x^(-1/3) буде від'ємним для від'ємних x. Таким чином, f'(x) < 0.

3. Якщо x = 0: Тут f'(x) = -4 - 2x - (2/3)x^(-1/3). Всі доданки в похідній від'ємні, отже, f'(x) < 0.

Отже, ми бачимо, що незалежно від значень x функція f'(x) завжди менше нуля. Це означає, що функція f(x) = 6 - 4x - x^2 - x^(2/3) є спадною на всьому діапазоні дійсних чисел R.