Question

Упростите выражение: (sin 2+ 3cos2 )² + (cos2 - 3sin 2.)²

Answer 1

$(\sin\alpha+3\cos\alpha)^2+(\cos\alpha-3\sin\alpha)^2=\\\\=\sin^2\alpha+6\sin\alpha\cos\alpha+9\cos^2\alpha+\cos^2\alpha-6\sin\alpha\cos\alpha+9\sin^2\alpha=\\\\=10\sin^2\alpha+10\cos^2\alpha=10(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=10$

Answer 2

Давайте раскроем скобки и упростим выражение.

(sin^2(x) + 3cos^2(x))^2 + (cos^2(x) - 3sin^2(x))^2

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса и косинуса: sin^2(2x) = (1 - cos(2x)) / 2 cos^2(2x) = (1 + cos(2x)) / 2

Заменим sin^2(x) и cos^2(x) в исходном выражении: ((1 - cos(2x))/2 + 3(1 + cos(2x))/2)^2 + ((1 + cos(2x))/2 - 3(1 - cos(2x))/2)^2

Упростим числитель и знаменатель в каждой скобке: ((1 + 3cos(2x))/2)^2 + ((1 - 3cos(2x))/2)^2

Раскроем скобки: (1 + 3cos(2x))^2/4 + (1 - 3cos(2x))^2/4

Раскроем квадраты: (1 + 6cos(2x) + 9cos^2(2x))/4 + (1 - 6cos(2x) + 9cos^2(2x))/4

Складываем числители: (2 + 9cos^2(2x))/4

Упростим выражение: (1/2 + 9/4cos^2(2x))