Question

Дифференциальные уравнения y'+2y/x=y^2 sinx

Answer 1

Ответ:

Объяснение:Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:

y'+2y/x=y² *Sin(x)

Найти общее решение уравнения

y'+2*y/x=y² *sin(x)

Это уравнение Бернулли при n=2.

Разделив обе части уравнения на y² получаем:

y'/y²+2/(x·y)=sin(x)

Делаем замену: z=1/y

Тогда z' = -1/y2

и поэтому уравнение переписывается в виде

-z'+2·z/x=sin(x)

Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной.

Представим в виде:

-z'+2·z/x = sin(x)

Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

-z'+2*z/x= 0

1. Решая его, получаем:

z' = 2·z/x     dz/dx=2z/x  dz/z= 2dx/x

Интегрируя, получаем:   ∫dz/z= 2∫dx/x

ln(z) = 2·ln(x)+lnC    ln(z) = ln(x²)+lnC

z = Cx²  

Ищем теперь решение исходного уравнения в виде:

z(x) = C(x)·x²,    z'(x) = C'(x)·x²+C(x)·(x²)'

-2·C(x)·x-C'(x) ·x²+2·z/x=sin(x)

-C'(x)·x² = sin(x)

или    C'(x) = -sin(x)/x²

Интегрируя, получаем:    C(x)=-∫Sin(x)/x² dx = (нтегрируем по частям) =С+ln(x)- ln(x²)/2+Sin(x)/x

Из условия z(x)=C(x)*x2, получаем:

z(x) = C(x)·x² = x²·(C+ln(x)-ln(x²)/2+0(x)+sin(x)/x)

или      z = C·x²+x²·ln(x)-x²·ln(x²)/2 +x·sin(x)

Поскольку z=1/y, то получим:

1/y=C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)                                                       Ответ: 1/у= C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

y' + 2y/x = y^2 * sin(x).

Это уравнение выглядит как обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и переменных разделяющихся. Давайте решим его.

1. Для начала приведем уравнение к стандартному виду для метода разделяющихся переменных. Выразим y':

   y' = y^2 * sin(x) - 2y/x.

2. Теперь разделим переменные, перемещая все y-связанное в одну сторону уравнения, а x-связанное - в другую:

   y' / (y^2 * sin(x) - 2y/x) = 1 dx.

3. Проинтегрируем обе стороны уравнения:

   ∫(1 / (y^2 * sin(x) - 2y/x)) dy = ∫1 dx.

4. Левую сторону можно проинтегрировать с помощью методов частных дробей или других интегрирования по переменным:

   ∫(1 / (y^2 * sin(x) - 2y/x)) dy = ∫(x / (x * y^2 * sin(x) - 2)) dy + ∫(1 / (x * y)) dy.

5. Проведем интегрирование:

   ∫(x / (x * y^2 * sin(x) - 2)) dy + ∫(1 / (x * y)) dy = ∫1 dx.

6. Решим каждый из интегралов на левой стороне:

   Первый интеграл может быть решен с помощью замены переменных: z = x * y^2 * sin(x) - 2. Тогда dz = (2xy^2sin(x) + y^2cos(x)) dx. Интеграл станет: ∫(1 / z) dz = ln|z| = ln|x * y^2 * sin(x) - 2|.

   Второй интеграл ∫(1 / (x * y)) dy = (1/x) ∫(1/y) dy = (1/x) ln|y|.

7. Теперь у нас есть выражения для обеих сторон уравнения:

   ln|x * y^2 * sin(x) - 2| = (1/x) ln|y| + C,

   где C - константа интегрирования.

Это является общим решением дифференциального уравнения. Если есть начальное условие (значение y при определенном значении x), то можно использовать его, чтобы найти конкретное значение константы C.