Question

Знайдіть екстремальні значення функції y = 1\3 x^3 - 3x^2+20.5

Answer 1

$\displaystyle y=\frac13 x^3-3x^2+20,\!5\\\\y'=x^2-6x=x(x-6)$

y(0) = 20,5

y(6) = $\dfrac13 6^3-3\cdot 6^2+20,\!5 =-15,\!5$

Ответ: $y_{max}$ = 20,5; $y_{min}$ = -15,5.

Answer 2

Для знаходження екстремальних значень функції, спочатку потрібно знайти похідну цієї функції та встановити, де вона дорівнює нулю. Після цього ми зможемо визначити, чи є ці точки максимумами або мінімумами.

Дана функція: y = (1/3)x^3 - 3x^2 + 20.5

Обчислимо похідну відносно x:

y' = d/dx [(1/3)x^3 - 3x^2 + 20.5] = x^2 - 6x

Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю:

x^2 - 6x = 0 x(x - 6) = 0

Отримуємо дві можливі точки екстремуму: x = 0 та x = 6.

Тепер знайдемо значення функції y на цих точках:

Для x = 0: y(0) = (1/3)(0)^3 - 3(0)^2 + 20.5 = 20.5

Для x = 6: y(6) = (1/3)(6)^3 - 3(6)^2 + 20.5 = -5.5

Отже, маємо дві можливі точки екстремуму: (0, 20.5) та (6, -5.5).

Щоб визначити, чи ці точки є мінімумами чи максимумами, ми можемо проаналізувати знак похідної. Якщо похідна змінює знак з плюсового на мінусовий відповідно до точки, то це може бути максимумом, і навпаки. В даному випадку, ми бачимо, що похідна змінює знак з плюсового на мінусовий при переході через точку (6, -5.5), тому ця точка може бути мінімумом.

Таким чином, точка (6, -5.5) може бути мінімальним значенням функції y = (1/3)x^3 - 3x^2 + 20.5.