Question

Решите систему уравнений ху + х - у = 7, х^2у - ху^2=6

Answer 1

$\left \{ {{xy+x-y=7} \atop {x^{2}y-xy^{2}=6}} \right.\\\\\left \{ {{xy+(x-y)=7} \atop {xy(x-y)=6}} \right.$

Сделаем замену :

xy = m , x - y = n

$\left \{ {{m+n=7} \atop {m*n=6}} \right. \\\\\left \{ {{m=7-n} \atop {(7-n)*n=6}} \right.\\\\\left \{ {{m=7-n} \atop {-n^{2}+7n-6=0 }} \right.\\\\\left \{ {{m=7-n} \atop {n^{2}-7n+6=0 }} \right.\\\\\left \{ {{m=7-n} \atop {\left[\begin{array}{ccc}n_{1}=1 \\n_{2} =6\end{array}\right }} \right.$

$\left \{ {{\left[\begin{array}{ccc}m_{1}=6 \\m_{2}=1 \end{array}\right } \atop {\left[\begin{array}{ccc}n_{1}=1 \\n_{2}=6 \end{array}\right }} \right.$

$1)\left \{ {{xy=6} \atop {x-y=1}} \right.\\\\\left \{ {{x=y+1} \atop {(y+1)*y=6}} \right.\\\\\left \{ {{x=y+1} \atop {y^{2}+y-6=0 }} \right.\\\\\left \{ {{x=y+1} \atop {\left[\begin{array}{ccc}y_{1}=-3 \\y_{2}=2 \end{array}\right }} \right. \\\\\left \{ {{\left[\begin{array}{ccc}x_{1}=-2 \\x_{2}=3 \end{array}\right } \atop {\left[\begin{array}{ccc}y_{1}=-3 \\y_{2}=2 \end{array}\right}} \right.$

$2)\left \{ {{xy=1} \atop {x-y=6}} \right.\\\\\left \{ {{x=y+6} \atop {xy=1}} \right.\\\\\left \{ {{x=y+6} \atop {(y+6)*y=1}} \right. \\\\\left \{ {{x=y+6} \atop {y^{2}+6y-1=0 }} \right.\\\\y^{2} +6y-1=0\\\\D=6^{2}-4*(-1)=36+4=40=(2\sqrt{10})^{2}\\\\y_{1}=\frac{-6-2\sqrt{10}}{2}=-3-\sqrt{10}\\\\y_{2}==\frac{-6+2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}-3\\\\x_{1} =-3-\sqrt{10}+6=3-\sqrt{10}\\\\x_{2}=\sqrt{10}-3+6=\sqrt{10}+3$

$Otvet:\boxed{(-2;-3),(3;2),(3-\sqrt{10} ;-3-\sqrt{10} ),(\sqrt{10}+3;\sqrt{10}-3)}$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения. В данном случае воспользуемся методом исключения.

Первое уравнение: ху + х - у = 7 ----> у = ху + х - 7

Подставим у во второе уравнение:

х^2(ху + х - 7) - х(ху + х - 7)^2 = 6

Раскроем скобки:

х^3у + х^2 - 7х^2 - х^2у - 2х^2 + 14х - 7х^2у - 14ху + 49 - 7ху - 14х + 49 = 6

Упростим:

х^3у - 7х^2у - х^2у - 7ху - 14ху + х^2 - 2х^2 + 14х - 14х + 49 + 49 - 6 = 0

Сгруппируем по переменным:

х^3у - 8х^2у - 21ху + 11х^2 + 0х + 92 = 0

Теперь мы имеем одно уравнение с одной неизвестной (у), которое можно решить численно или аппроксимировать графически.

Если требуется точное решение, можно воспользоваться численными методами или компьютерным программным обеспечением для символьной математики, таким как символьные вычислительные системы (например, Wolfram Alpha, Mathematica).