Question

Y=(x2+4)/(x2-4) найти промежутки возрастания и убывания функции

Answer 1

Ответ:

Нужно найти производную...............

Answer 2

Давайте начнем с анализа данной функции Y = (x^2 + 4) / (x^2 - 4). Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно определить, когда производная функции положительна (функция возрастает) и когда она отрицательна (функция убывает).

1. Найдем производную функции Y по переменной x: Y = (x^2 + 4) / (x^2 - 4)

   Прологарифмируем числитель и знаменатель для удобства: Y = ln(x^2 + 4) - ln(x^2 - 4)

   Теперь продифференцируем по переменной x с использованием правила дифференцирования логарифма: Y' = (2x) / (x^2 + 4) - (2x) / (x^2 - 4)

2. Теперь попробуем найти точки, где производная равна нулю или не существует (критические точки): Y' = 0 (2x) / (x^2 + 4) - (2x) / (x^2 - 4) = 0

   После нахождения общего знаменателя и упрощения уравнения, получим: (2x * (x^2 - 4) - 2x * (x^2 + 4)) / ((x^2 + 4) * (x^2 - 4)) = 0 -16x / (x^4 - 16) = 0

   Это уравнение не имеет решений, так как -16x не может равняться 0 при ненулевом знаменателе.

3. Теперь проанализируем интервалы между критическими точками и асимптотами. В данном случае у нас есть асимптоты x = 2 и x = -2 (поскольку знаменатель становится нулем при x = ±2).

   a) При x < -2: Знак Y' будет положительным, так как (-16x) и (x^4 - 16) будут иметь разные знаки. Значит, функция Y возрастает на этом интервале.

   b) При -2 < x < 2: Знак Y' будет отрицательным, так как (-16x) и (x^4 - 16) будут иметь одинаковый знак. Значит, функция Y убывает на этом интервале.

   c) При x > 2: Знак Y' будет положительным, так как (-16x) и (x^4 - 16) будут иметь разные знаки. Значит, функция Y возрастает на этом интервале.

Итак, промежутки возрастания функции Y = (x^2 + 4) / (x^2 - 4): (-∞, -2) и (2, +∞). Промежутки убывания: (-2, 2).