Question

Доказать, что 6^240-1 делится на 35. желательно используя не формулы, а сравнение по модулю.​

Answer 1

По модулю очень громоздко. Всё же напишу очень простое доказательство.

Известный факт а^n-1   делится нацело на (а-1). Тем не менее докажем его по индукции. Для n=1 фаакт верен. Пусть верен для n-1

Но а^n-1=а*(а^(n-1)-1)+(а-1)  по предположению индукции первое слагаемое на (а-1) делится, второе тоже.

Но  6^240-1=36^120-1 и значит делится на  (36-1)=35, что и требуется.

Answer 2

Для доказательства того, что $6^{240} - 1$ делится на 35, мы можем использовать метод сравнения по модулю.

Сначала заметим, что $6^2 = 36$ делится на 35 без остатка. Теперь давайте рассмотрим кратные степени $6^2$:

$6^4 = (6^2)^2 = 36^2$ $6^6 = (6^2)^3 = 36^3$ ...

Мы видим, что любая степень $6^2$ также делится на 35. Теперь давайте рассмотрим $6^{240}$. Мы можем представить $240$ в виде $240 = 4 \cdot 60$. Тогда:

$6^{240} = (6^4)^{60} = 36^{60}$

Так как $36^2$ делится на 35, то и $36^{60}$ также делится на 35 без остатка. Теперь мы можем записать это в виде:

$6^{240} - 1 = 36^{60} - 1$

Мы знаем, что разность $a^n - b^n$ делится на $a - b$, поэтому:

$36^{60} - 1 = (36^{30})^2 - 1^2$

Используя формулу разности квадратов, получим:

$(36^{30})^2 - 1^2 = (36^{30} + 1)(36^{30} - 1)$

Заметим, что $36^{30} + 1$ и $36^{30} - 1$ являются последовательными целыми числами, поэтому одно из них обязательно делится на 2, а другое на 4 (поскольку каждое из них нечетное). Кроме того, $36^{30} - 1$ делится на 35 как мы выяснили ранее.

Таким образом, $6^{240} - 1$ делится на 35.

Это завершает доказательство.