Question

Розвєяжіть рівняння методом заміни змінних 1)x4-6x2+5=0 2)(x2-3x)2-14(x2-3x)+40=0

Answer 1

${x}^{4} - 6 {x}^{2} + 5 = 0 \\ y = x {}^{2} \\ y {}^{2} - 6y + 5 = 0 \\ y_{1} + y_{2} = 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_{1} = 1 \\ y_{1}y_{2} = 5 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_{2} = 5 \\ x {}^{2} _{1} = 1 \\ x_{1} = 1 \\ x_{2} = - 1 \\ x {}^{2} _{2} = 5 \\ x_{3} = \sqrt{5} \\ x_{4} = - \sqrt{5} \\ Ответ: \: - \sqrt{5} \: ; \: - 1 \: ; \: 1 \: ; \: \sqrt{5}$

$( {x}^{2} - 3x) {}^{2} - 14( {x}^{2} - 3x) + 40 = 0 \\ \\ y = {x}^{2} - 3x \\ y {}^{2} - 14y + 40 = 0 \\ y_{1} + y_{2} = 14 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_{1} = 10 \\ y_{1}y_{2} = 40 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_{2} = 4 \\ \\ {x}^{2} - 3x = 10 \\ {x}^{2} - 3x - 10 = 0 \\ x_{1} + x_{2} = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{1} = 5 \\ x_{1}x_{2} = - 10 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{2} = - 2 \\ \\ {x}^{2} - 3x = 4 \\ {x}^{2} - 3x - 4 = 0 \\ x_{3} + x_{4} = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{3} = 4 \\ x_{3}x_{4} = - 4\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: x_{4} = - 1 \\ \\ Ответ: \: - 2 \: ; \: - 1\: ; \:4\: ; \:5$

Answer 2

Для розв'язання цих рівнянь методом заміни змінних, ми спробуємо ввести нові змінні, щоб отримати квадратні рівняння, які буде легше розв'язати.

1. Рівняння: x^4 - 6x^2 + 5 = 0

Введемо нову змінну: u = x^2 Тоді рівняння перетвориться: u^2 - 6u + 5 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати за допомогою факторизації: (u - 5)(u - 1) = 0

Звідси отримуємо два можливих значення для u: u = 5 і u = 1.

Підставляючи ці значення назад у вираз для u = x^2, ми отримуємо два рішення для x:

1. x^2 = 5 => x = ±√5
2. x^2 = 1 => x = ±1

Отже, розв'язки рівняння x^4 - 6x^2 + 5 = 0: x = ±√5 і x = ±1.

2. Рівняння: (x^2 - 3x)^2 - 14(x^2 - 3x) + 40 = 0

Введемо нову змінну: y = x^2 - 3x Тоді рівняння стає: y^2 - 14y + 40 = 0

Також маємо квадратне рівняння, яке можна розв'язати факторизацією: (y - 10)(y - 4) = 0

Знаючи значення для y, ми можемо знайти відповідні значення для x:

1. y = 10: x^2 - 3x = 10 => x^2 - 3x - 10 = 0 Розв'язуємо це квадратне рівняння: x = 5 або x = -2

2. y = 4: x^2 - 3x = 4 => x^2 - 3x - 4 = 0 Розв'язуємо це квадратне рівняння: x = 4 або x = -1

Отже, розв'язки рівняння (x^2 - 3x)^2 - 14(x^2 - 3x) + 40 = 0: x = 5, x = -2, x = 4 і x = -1.