Question

Знайдіть суму шести перших членів геометричної про-гресії (bn), якщо b3 = 9, b5= 81.​

Answer 1

B1=1. q=3
b2=3
b3=9
b4=27
b5=81
b6=243
S= (b6• q-b1):(q-1)= (243•3-1):2=364

Answer 2

Для геометричної прогресії (bn) маємо формулу для загального члена:

$b_n = b_1 \cdot r^{n-1},$

де $b_n$ - n-ий член прогресії, $b_1$ - перший член прогресії, $r$ - знаменник прогресії, $n$ - номер члена прогресії.

У нашому випадку $b_3 = 9$ і $b_5 = 81$. Використовуючи формулу для загального члена прогресії, ми можемо скласти два рівняння:

1. $b_3 = b_1 \cdot r^{3-1} = b_1 \cdot r^2 = 9$
2. $b_5 = b_1 \cdot r^{5-1} = b_1 \cdot r^4 = 81$

Тепер ми можемо поділити друге рівняння на перше:

$\frac{b_5}{b_3} = \frac{b_1 \cdot r^4}{b_1 \cdot r^2} = r^2 = \frac{81}{9} = 9.$

Звідси отримуємо значення $r = \sqrt{9} = 3$.

Підставимо значення $r$ в одне з рівнянь (для прикладу, в перше рівняння):

$b_1 \cdot r^2 = 9 \Rightarrow b_1 \cdot 3^2 = 9 \Rightarrow b_1 \cdot 9 = 9 \Rightarrow b_1 = 1.$

Отже, ми знайшли перший член прогресії $b_1 = 1$, а знаменник прогресії $r = 3$.

Тепер ми можемо знайти суму шести перших членів геометричної прогресії за формулою:

$S_n = \frac{b_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1},$

де $S_n$ - сума перших n членів прогресії.

Підставимо відомі значення:

$S_6 = \frac{1 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{729 - 1}{2} = \frac{728}{2} = 364.$

Отже, сума шести перших членів геометричної прогресії дорівнює 364.