Question

На графіку функції y=x^2, знайди точку K, найближчу до точки A(0,4;0,5).

Answer 1

Ближайшей будет точка B(xo; yo) пересечения графика функции y=x^2, с нормалью, проходящей через точку А(0,4; 0,5).

Производная функции y' = 2x, y'(xo) = 2xo.

Уравнение нормали y = (-1/2xo)*(x - xo) + yo.

Подставим координаты точки А и значение функции в точке хо:

0,5 = (-1/2xo)*(0,4 - xo) + 2х²o. Приведём к общему знаменателю.

0,5*2xo = -0,4 + хо + 2х³о. Отсюда получаем:

2х³о = 0,4  или  х³о = 0,2.

Тогда хо = ∛0,2 ≈ 0,5848.

          уо = 0,2^(2/3) ≈ 0,342.

Answer 2

Функція y = x^2 є параболою, яка відкрита верхіньма і напіввісьма відрізняється від початку координат. Це означає, що точка на цій параболі, яка найближче до точки A(0.4, 0.5), буде лежати на нормалі, проведеній з точки A.

Нормала до параболи в будь-якій її точці буде перпендикулярно до касательної в цій точці. Оскільки парабола симетрична відносно осі x, то нормала в точці A буде вертикальною лінією.

Таким чином, точка K буде мати координати x = 0.4 (збігається з x-координатою точки A), а y-координата буде визначена значенням функції y = x^2 при x = 0.4:

y = (0.4)^2 = 0.16

Отже, точка K має координати (0.4, 0.16) і лежить на параболі y = x^2, біля точки A(0.4, 0.5).