Question

Решите неравенство 6/x-1<=3/x+1+7/x+2​

Answer 1

Ответ:

$(-\infty;\; -1]\cup(0;\;+\infty)$

Объяснение:

$\dfrac{6}{x}-1\le \dfrac{3}{x}+1+\dfrac{7}{x}+2\\\dfrac{4}{x}\ge -4\\\dfrac{1}{x}\ge-1\\\dfrac{1+x}{x}\ge0\\\\x\ne0\\x=-1\\\\=>x\in(-\infty;\; -1]\cup(0;\;+\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы будем следовать этим шагам:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю.
2. Упростим неравенство.
3. Решим получившееся неравенство.

Итак, давайте начнем:

Исходное неравенство:

$\frac{6}{x-1} \leq \frac{3}{x+1} + \frac{7}{x+2}$

1. Приведем дроби к общему знаменателю, который будет $(x-1)(x+1)(x+2)$:

$\frac{6}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} \leq \frac{3}{x+1} \cdot \frac{x-1}{x-1} \cdot \frac{x+2}{x+2} + \frac{7}{x+2} \cdot \frac{x-1}{x-1} \cdot \frac{x+1}{x+1}$

$\frac{6(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq \frac{3(x-1)(x+2) + 7(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

2. Упростим дроби:

$\frac{6(x^2+3x+2)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq \frac{3(x^2+x-2) + 7(x^2-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

$\frac{6x^2+18x+12}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq \frac{3x^2+3x-6 + 7x^2-7}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

$\frac{6x^2+18x+12}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq \frac{10x^2-3x-13}{(x-1)(x+1)(x+2)}$

3. Вычтем правую часть из левой:

$\frac{6x^2+18x+12 - (10x^2-3x-13)}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq 0$

$\frac{-4x^2 + 21x + 25}{(x-1)(x+1)(x+2)} \leq 0$

Теперь нужно найти интервалы, в которых это неравенство выполняется. Для этого определим значения $x$, которые делают числитель и знаменатель положительными и отрицательными.

Числитель $-4x^2 + 21x + 25$ является параболой, и у него есть два корня: $x_1 \approx -0.75$ и $x_2 \approx 6.25$.

Знаменатель $(x-1)(x+1)(x+2)$ равен нулю при $x = -2$, $x = -1$ и $x = 1$.

Теперь мы можем построить таблицу знаков:

scssCopy code
     -2        -0.75         -1        1         6.25
      |-----------|------------|---------|---------|
(-4x^2 + 21x + 25)  |     -     |     +   |    -    |
((x-1)(x+1)(x+2))   |     -     |     -   |    +    |
       Result       |     +     |     -   |    -    |

Из таблицы видно, что неравенство выполняется на интервалах $(-2, -1)$ и $(1, 6.25)$.

Таким образом, решением неравенства $\frac{6}{x-1} \leq \frac{3}{x+1} + \frac{7}{x+2}$