Question

При каком значении а система уравнений 7х+ау=414х-8у=8 имеет бесконечно много решений?

Answer 1

Решение:

$\displaystyle \left \{ {{7x + ay = 4} \atop 14x - 8y = 8}} \right. ; \;\;\; \displaystyle \left \{ {{7x + ay = 4} \atop 7x - 4y = 4}} \right.$

Вычтем из первого уравнения системы второе:

$(7x + ay) - (7x - 4y) = 4 - 4 \\\\ay + 4y = 0 \\\\(a+4)y = 0$

Если $a+4 \ne 0$, то в силу того, что произведение равно нолю,  $y=0$. И, подставляя это, например, во второе уравнение, имеем:

$7x - 4 \cdot 0 = 4 \\\\7x = 4 \\\\x = \dfrac{4}{7}$

Значит, чтобы решений было бесконечно много, нужно чтобы $a+4=0$ или же $a=-4$. При этом значении $a$ переменная $y$ может быть любым числом. И каждому значению переменной соответствует свое значение переменной $x$.

Действительно, в этом случае первое и второе уравнение системы будут совпадать с точностью до умножения на два:

$\displaystyle \left \{ {{7x -4y = 4} \atop 14x - 8y = 8}} \right.$

Задача решена!

Ответ: при a = - 4 .

Answer 2

Система уравнений имеет бесконечно много решений, когда уравнения линейно зависимы, то есть одно из них может быть выражено как линейная комбинация другого или других. В данном случае у нас есть два уравнения:

1. $7x + a y = 4$
2. $14x - 8y = 8$

Чтобы определить, при каком значении $a$ система будет иметь бесконечно много решений, нужно учесть, что второе уравнение можно получить, умножив первое уравнение на 2:

$2 \cdot (7x + a y) = 2 \cdot 4$
$14x + 2a y = 8$

Таким образом, второе уравнение совпадает с полученным уравнением $14x + 2a y = 8$, что означает, что система становится зависимой и имеет бесконечно много решений, когда $a$ такое, что выполнено:

$14x - 8y = 8$
$14x + 2a y = 8$

Приравняем коэффициенты при $x$ и при $y$ в обоих уравнениях:

$14 = 14$ (коэффициент при $x$) $-8 = 2a$ (коэффициент при $y$)

Из второго уравнения можно найти значение $a$:

$2a = -8$
$a = -4$

Итак, при $a = -4$ система уравнений будет иметь бесконечно много решений.