Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання функції(50 БАЛОВ): 1) y=5x²-3x+1; 2)y= +1; 3) y= 4) y=

Answer 1

1. находим критические точки. приравнивая производную к нулю.

2. устанавливаем знак производной. т.е. решаем  неравенство f'>0( или f'<0)

3 промежутки в которых производная больше нуля - промежутки строго возрастания функции.

а) у'>0

10x-3>0⇒x>0.3, т.к функция непрерывна во всей своей обл. определения. то в промежутки возрастания и убывания можно включить и концы промежутка.

при х∈[0.3;+∞) функция возрастает, при х∈(-∞;0.3] убывает.

2. у'=2/х² эта производная при х∈(-∞;0) и (0;+∞)  положительна. значит, функция возрастает  при х∈(-∞;0) и (0;+∞)

3. у'=-6/х3, при х∈(0;+∞) функция убывает. при х∈(-∞;0) возрастает.

4.  у'=(2х²-х²-1)/х²=(х²-1)х²=(х-1)(х+1)/х²

___-1_____0______1_____

+            -          -              +

убывает функция на промежутках [-1;0) и (0;1] и возрастает  (-∞;-1] и  [1;+∞)

Answer 2

Спершу розглянемо функцію y = 5x² - 3x + 1.

1. Функція y = 5x² - 3x + 1 є квадратичною функцією. Знайдемо вершину цієї квадратичної функції, щоб з'ясувати, де вона зростає або спадає.

Вершина квадратичної функції визначається формулою x = -b / 2a, де a та b - це коефіцієнти перед x² та x у рівнянні відповідно. У нашому випадку a = 5, b = -3:

x = -(-3) / (2 * 5) = 3/10.

Підставляючи це значення x назад у рівняння, отримуємо:

y = 5 * (3/10)² - 3 * (3/10) + 1 = 5/20 - 9/10 + 1 = 1/4 - 9/10 + 10/10 = 1/4 + 1/10 = 14/40 + 4/40 = 18/40 = 9/20.

Отже, вершина має координати (3/10, 9/20).

Тепер перевіримо знак похідної функції y = 5x² - 3x + 1, щоб з'ясувати проміжки зростання і спадання:

Похідна цієї функції: y' = 10x - 3.

Якщо y' > 0, то функція зростає, якщо y' < 0, то функція спадає. Знайдемо, де похідна дорівнює нулю:

10x - 3 = 0 10x = 3 x = 3/10.

Розділяючи вісь x на проміжки з точкою x = 3/10, ми отримуємо два проміжки: (-∞, 3/10) та (3/10, ∞).

Оцінюючи знак похідної на цих проміжках, можемо зробити висновок:

1. На проміжку (-∞, 3/10): y' > 0 (функція зростає).
2. На проміжку (3/10, ∞): y' > 0 (функція зростає).

Отже, функція зростає на всій числовій прямій.