Question

Разложить на множители X^4 + 3x^3 - 8x^2 + 3x + 1

Answer 1

х⁴+ 3x³ - 8x² + 3x + 1=0

получили симметрическое уравнение четвертой степени, т.к. х≠0, то разделив обе части на х², получим х²+3х-8+3/х+1/х²=

((х+1/х)²-2)+3(х+1/х)-8=0

замена (х+1/х)=у, тогда у²+3у-2-8=0

у²+3у-10=0, По Виета у=-5, у=2

Значит, х+1/х=-5 или х+1/х=2,

х⁴+ 3x³ - 8x² + 3x + 1=(х²-2х+1)(х²+5х+1)=

(х-1)²(х²+5х+1)=(х-1)²(х-(-2.5+√5.25))(х-(-2.5-√5.25))=

(х-1)²(х+2.5-√5.25))(х+2.5+√5.25)

х²+5х+1=0

х=-2.5±√(6.25-1)=(-2.5±√5.25)

ВТОРОЙ СПОСОБ ВО ВЛОЖЕНИИ

Answer 2

Данный полином X^4 + 3x^3 - 8x^2 + 3x + 1 нельзя разложить на множители с помощью целых чисел или дробей. Однако мы можем попробовать разложить его на множители с использованием комплексных чисел или иррациональных чисел.

Полином не имеет целых корней, так как по теореме о рациональных корнях (рациональные корни p/q, где p - делитель свободного члена, а q - делитель коэффициента при старшей степени) для данного полинома целые корни могут быть только ±1, а в данном случае ни одно из этих значений не является корнем.

Если использовать численные методы, то можно найти, что полином имеет два комплексных корня приближенно равных: x ≈ -1.12393 + 0.866025i x ≈ -1.12393 - 0.866025i

Таким образом, полином X^4 + 3x^3 - 8x^2 + 3x + 1 не может быть разложен на множители с целыми, рациональными или иррациональными коэффициентами.