Question

На п'яти картках записані числа 2,4,6,7,8. Навмання обирають дві картки і складають правильний дріб. знайти ймовірність того що даний дріб нескоротний ​

Answer 1

Ответ:

$\frac{2}{5}$

Объяснение:

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним. Усього таких правильних дробів буде 10, перерахуємо їх:

$\frac{2}{4} , \frac{2}{6}, \frac{2}{7}, \frac{2}{8}, \frac{4}{6}, \frac{4}{7}, \frac{4}{8}, \frac{6}{7}, \frac{6}{8}, \frac{7}{8}.$

Побачимо, що всього скоротних дробів є рівно 6, а не скоротних - відповідно, 4. Питається: яка ймовірність отримати нескоротний дріб із 10?

Обчислимо цю ймовірність за класичною формулою $P(A) = \frac{m}{n}$, де A - подія; P(A) - ймовірність цієї події; n - загальна кількість подій (10), а m - число подій, які сприяють події A (4). Маємо:

$P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ - ймовірність отримати неоскоротний дріб із 10 можливих правильних.

Answer 2

Щоб знайти ймовірність того, що даний дріб нескоротний, спочатку визначимо загальну кількість можливих варіантів вибору двох карток з п'яти. Для цього використовується комбінаторика.

Кількість способів обрати дві картки з п'яти можна визначити за допомогою біноміального коефіцієнта, що позначається як "C". Формула біноміального коефіцієнта виглядає наступним чином:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

де n - загальна кількість елементів (у нашому випадку 5 карток), k - кількість обраних елементів (у нашому випадку 2 картки), а "!" позначає факторіал (тобто добуток чисел від 1 до n).

Застосуємо цю формулу до нашої задачі:

C(5, 2) = 5! / (2!(5-2)!) = 5! / (2!3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2! = (5 * 4) / (2 * 1) = 10

Отже, є 10 можливих способів обрати дві картки з п'яти.

Тепер, щоб знайти кількість способів отримати нескоротний дріб, треба з'ясувати, скільки з 10 можливих дробів не є скоротними.

Зауважимо, що щоб дріб був скоротним, чисельник і знаменник повинні мати спільний дільник більше 1. Оскільки всі числа на картках є простими числами (2, 3, 5, 7), у нас немає спільних дільників, окрім 1. Тому будь-який дріб, утворений з цих чисел, є нескоротним.

Отже, всі 10 можливих дробів, утворених з двох обраних карток з числами 2, 4, 6, 7, 8, є нескоротними.

Таким чином, ймовірність того, що дріб нескоротний, дорівнює 1 (або 100%).