Question

При каком значении x значения выражений x+1, x+5 и 2x+4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии, первый член положителен.

Answer 1

$b_1=x+1;\ \ \ \ b_2=x+5;\ \ \ \ b_3=2x+4$

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое двух соседних членов.

$b_2^2=b_1\cdot b_3\\\\\big(x+5\big)^2=\big(x+1\big)\big(2x+4\big)\\\\x^2+10x+25=2x^2+6x+4\\\\x^2-4x-21=0$

По формулам Виета:

 $x_1\cdot x_2=-21;\ \ \ x_1+x_2=4;\\\\\Rightarrow\ \ \ \boldsymbol{x_1=7;\ \ x_2=-3}$

По условию первый член геометрической прогрессии должен быть положительным.

$x_1=7;\\ ~~~~~~~~b_1=7+1=8;\ \ \ b_1=8>0;\\~~~~~~~~ b_2=7+5=12;\\~~~~~~~~ b_3=2\cdot 7+4=18;\\\\~~~~~q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{12}8=\dfrac32=\dfrac{b_3}{b_2}=\dfrac{18}{12}=\dfrac32$

$x_2=-3;\ \ b_1=-3+1=-2$    - не подходит по условию.

Ответ: при значении переменной $x=7$  члены геометрической прогрессии  8; 12; 18.

Answer 2

Для того чтобы значения выражений $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы отношение каждых двух последовательных членов было постоянным.

Давайте проверим это условие:

1. Отношение $\frac{{x + 5}}{{x + 1}}$:

$$\frac{{x + 5}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1 + 4}}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{x + 1} = 1 + \frac{4}{x + 1}$$

2. Отношение $\frac{{2x + 4}}{{x + 5}}$:

$$\frac{{2x + 4}}{{x + 5}} = \frac{{2(x + 1) + 2}}{{x + 5}} = \frac{{2(x + 1)}}{{x + 5}} + \frac{2}{x + 5} = 2\frac{{x + 1}}{{x + 5}} + \frac{2}{x + 5}$$

Если эти два выражения будут равны, то отношение последовательных членов будет постоянным:

$$1 + \frac{4}{x + 1} = 2\frac{{x + 1}}{{x + 5}} + \frac{2}{x + 5}$$

Решим это уравнение:

$$1 + \frac{4}{x + 1} = 2\frac{{x + 1}}{{x + 5}} + \frac{2}{x + 5}$$

$$1 + \frac{4}{x + 1} = \frac{2x + 2 + 2}{x + 5}$$

$$1 + \frac{4}{x + 1} = \frac{2x + 4}{x + 5}$$

$$1(x + 5) + 4 = 2x + 4$$

$$x + 5 + 4 = 2x + 4$$

$$x + 9 = 2x + 4$$

$$x = 5$$

Таким образом, при $x = 5$ значения $x + 1$, $x + 5$ и $2x + 4$ будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Подставляя $x = 5$ в эти выражения, получаем:

1. Первый член: $x + 1 = 5 + 1 = 6$
2. Второй член: $x + 5 = 5 + 5 = 10$
3. Третий член: $2x + 4 = 2 \cdot 5 + 4 = 14$

Таким образом, геометрическая прогрессия будет: 6, 10, 14.