Question

Знайти найбільше і найменше значення функції:y=2x^3-3x^2-12x-1 на проміжку [-2;3]​

Answer 1

Ответ:

наибольшее значение 6, а наименьшее -21.

Объяснение:

$y=2x^{3} -3x^{2} -12x-1.$

Найдем производную функции.

$y'=2*3x^{2} -3*2x-12=6x^{2} -6x-12.$

Найдем критические точки решив, уравнение $y'=0;\\6x^{2} -6x-12=0|:6;\\x^{2} -x-2=0;\\D=(-1)^{2} -4*1*(-2)=1+8=9=3^{2} ;\\\\x{_1}=\dfrac{1-3}{2} =\dfrac{-2}{2} =-1;\\\\x{_2}=\dfrac{1+3}{2} =\dfrac{4}{2} =2$

Полученные точки принадлежат заданному отрезку. Поэтому найдем значения функции на концах отрезка и в этих точках.

$y(-2)=2*(-2)^{3} -3*(-2)^{2} -12*(-2)-1=-16-12+24-1=-5;\\y(-1) =2*(-1)^{3} -3*(-1)^{2} -12*(-1)-1=-2-3+12-1=6;\\y(2)=2*2^{3} -3*2^{2} -12*2-1=16-12-24-1=-21;\\y(3)=2*3^{3} -3*3^{2} -12*3-1=54-27-36-1=-10.$

Тогда наибольшее значение данной функции на заданном отрезке 6, а наименьшее -21.

Answer 2

Ответ:

6 и -21

Объяснение:

Перевод: Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

y = 2·x³-3·x²-12·x-1

на промежутке [-2; 3].

Решение. Применим алгоритм нахождения наибольшее и наименьшее значения функции на интервале.

1) Находим производную от функции:

y'=(2·x³-3·x²-12·x-1)' =2·(x³)'-3·(x²)'-12·(x)'-(1)' =2·3·x²-3·2·x-12·1-0=6·x²-6·x-12.

2) Находим критические точки функции принадлежащие промежутке [-2; 3]:

y'=0 ⇔ 6·x²-6·x-12=0 ⇔ x²-x-2=0 ⇔ x²-1-x-1=0 ⇔ (x-1)·(x+1)-(x+1)=0 ⇔

⇔ (x-1-1)·(x+1)=0 ⇔ (x-2)·(x+1)=0 ⇒ x₁=2∈[-2; 3], x₂= -1∈[-2; 3].

3) Вычислим значение функции в критических точках из промежутка и на границах промежутка:

y(-2) = 2·(-2)³-3·(-2)²-12·(-2)-1 = -16-12+24-1 = -5;

y(-1) = 2·(-1)³-3·(-1)²-12·(-1)-1 = -2-3+12-1 = 6;

y(2) = 2·2³-3·2²-12·2-1 = 16-12-24-1 = -21;

y(3) = 2·3³-3·3²-12·3-1 = 54-27-36-1 = -10.

4) Выбираем наибольшее и наименьшее значения функции среди значений из пункта 3:

наибольшее - это число 6;

наименьшее - это число -21.

Answer 3

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції y = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1 на проміжку [-2;3], спершу потрібно знайти критичні точки функції, тобто ті точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує, а також крайні точки проміжку.

1. Знайдемо похідну функції: y' = 6x^2 - 6x - 12.

2. Покладемо похідну рівною нулю і знайдемо критичні точки: 6x^2 - 6x - 12 = 0.

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня: x^2 - x - 2 = 0.

Факторизуємо: (x - 2)(x + 1) = 0.

Звідси отримуємо дві критичні точки: x = 2 та x = -1.

3. Оскільки наш проміжок [-2;3], перевіримо значення функції в крайніх точках і знайдених критичних точках:

• Для x = -2: y = 2*(-2)^3 - 3*(-2)^2 - 12*(-2) - 1 = -25.
• Для x = 2: y = 22^3 - 32^2 - 12*2 - 1 = -23.
• Для x = 3: y = 23^3 - 33^2 - 12*3 - 1 = 10.
• Для x = -1: y = 2*(-1)^3 - 3*(-1)^2 - 12*(-1) - 1 = -10.

Таким чином, найменше значення функції на проміжку [-2;3] дорівнює -25 (досягається в точці x = -2), а найбільше значення дорівнює 10 (досягається в точці x = 3).