Question

Решите на множестве R неравенства 2x(3x-1) больше либо равно 4x^2+5x+9

Answer 1

Ответ:

(-беск;-1] [4,5,+беск)

Объяснение:

6x^2-2x>=4x^2+5x+9

2x^2-7x-9>=0

2x^2-7x-9=0

x1=-1, x2=4,5

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с того, что выразим все выражения на одной стороне и упростим:

$$2x(3x-1) \geq 4x^2 + 5x + 9$$

Распределим произведение на левой стороне:

$$6x^2 - 2x \geq 4x^2 + 5x + 9$$

Теперь вычитаем $4x^2 + 5x + 9$ с обеих сторон:

$$2x^2 - 7x - 9 \geq 0$$

Теперь давайте найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$. Для этого используем квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a = 2$, $b = -7$ и $c = -9$. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac$$

Подставляем значения:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$

Так как дискриминант положителен ($D > 0$), у нас есть два различных действительных корня:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2}$$

$$x = \frac{7 \pm 11}{4}$$

Итак, корни уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ равны $x = \frac{9}{4}$ и $x = -\frac{1}{2}$.

Теперь мы знаем точки, в которых уравнение меняет знак. Остается только проанализировать знак выражения $2x^2 - 7x - 9$ на интервалах между корнями и за пределами корней.

Интервалы:

1. $-\infty < x < -\frac{1}{2}$
2. $-\frac{1}{2} < x < \frac{9}{4}$
3. $\frac{9}{4} < x < +\infty$

Мы можем взять тестовую точку из каждого интервала и проверить, как меняется знак:

1. Выберем $x = -1$: Подставляем в $2x^2 - 7x - 9$: $2(-1)^2 - 7(-1) - 9 = 2 + 7 - 9 = 0$. Знак не меняется.

2. Выберем $x = 0$: Подставляем в $2x^2 - 7x - 9$: $2(0)^2 - 7(0) - 9 = -9$. Знак отрицательный.

3. Выберем $x = 2$: Подставляем в $2x^2 - 7x - 9$: $2(2)^2 - 7(2) - 9 = 4 - 14 - 9 = -19$. Знак отрицательный.

Таким образом, на интервалах $-\frac{1}{2} < x < \frac{9}{4}$ и $\frac{9}{4} < x < +\infty$ неравенство $2x^2 - 7x - 9 \geq 0$