Question

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= x^2+4x+2 в точке с абсциссой x0= 1

Answer 1

Ответ: у=6х+1

Объяснение:f(x)= x^2+4x+2 в точке с абсциссой x₀=1                    1) f'(x)= 2x+4, f'(x₀)= f'(1)= 2·1+4=6,    2)  f(x₀)= 1²+4·1+2= 7;  3)Уравнение касательной y = f ’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀). ⇒  у=7+6(х-1)=7+6х-6=6х+1

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 4x + 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдите производную функции $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 4x + 2).$

2. Вычислите значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = \frac{d}{dx} (x^2 + 4x + 2) \Big|_{x=1}.$

3. Найдите значение функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$: $f(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 2.$

4. Теперь у вас есть координаты точки касания касательной: $(1, f(1))$ и угловой коэффициент касательной: $f'(1)$.

5. Используйте уравнение касательной в общем виде $y - y_1 = m(x - x_1)$, где $(x_1, y_1)$ - точка касания, $m$ - угловой коэффициент.

Собрав все вместе, уравнение касательной будет: $y - f(1) = f'(1) \cdot (x - 1).$

Теперь давайте подставим значения и упростим выражение:

$y - (1^2 + 4 \cdot 1 + 2) = f'(1) \cdot (x - 1).$

$y - 7 = f'(1) \cdot (x - 1).$

Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 4x + 2$ в точке $x_0 = 1$ будет: $y = f'(1) \cdot (x - 1) + 7.$

Вы можете выразить $f'(1)$ из производной и подставить значение: $f'(1) = \frac{d}{dx} (x^2 + 4x + 2) \Big|_{x=1}.$

$f'(1) = 2 \cdot 1 + 4 = 6.$

Итак, окончательное уравнение касательной будет: $y = 6(x - 1) + 7.$