Question

Доведіть що: 1.sin^2a-1=-cos^2a 2.1+tg^2a-1/cos^2a 3.cosa*tga=sina

Answer 1

1) sin²a-1=-cos²a

По основному тригонометрическому тождеству sin²a+cos²a=1 => cos²a=1-sin²a |×(-1)

-cos²a=sin²a-1

Доказано.

2) 1+tg²a=1/cos²a

1+sin²a/cos²a=1/cos²a

cos²a+sin²a/cos²a=1/cos²a

1/cos²a=1/cos²a

Доказано.

3) cosa×tga=sina

cosa×sina/cosa=sina

sina=sina

Доказано.

Answer 2

Давайте розглянемо кожен з виразів окремо:

1. Перша рівність: sin^2(a) - 1 = -cos^2(a)

Згідно з тригонометричними тотожностями: sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Вираз sin^2(a) - 1 можна записати як: sin^2(a) - 1 = sin^2(a) - (sin^2(a) + cos^2(a)) = sin^2(a) - sin^2(a) - cos^2(a) = -cos^2(a)

Отже, перша рівність доведена.

2. Друга рівність: (1 + tg^2(a)) / cos^2(a)

Ми можемо скористатися тотожністю: 1 + tan^2(a) = sec^2(a)

де sec(a) - секанс, обернена до косеканса (1/cos(a)).

Таким чином, ми можемо замінити 1 + tg^2(a) на sec^2(a):

(1 + tg^2(a)) / cos^2(a) = sec^2(a) / cos^2(a)

А також згадати, що sec(a) = 1 / cos(a):

sec^2(a) / cos^2(a) = (1 / cos^2(a)) / cos^2(a) = 1 / cos^4(a)

Отже, другу рівність ми також довели.

3. Третя рівність: cos(a) * tg(a) = sin(a)

Ми знаємо, що tg(a) = sin(a) / cos(a).

Тоді: cos(a) * tg(a) = cos(a) * (sin(a) / cos(a)) = sin(a)

Отже, і третю рівність ми довели.

Усі три рівності доведені за допомогою тригонометричних тотожностей та властивостей тригонометричних функцій.