Question

Упростить: (sin2a+3cos2a)^2+(cos2a-3sin2a)^2​

Answer 1

Ответ:

(sin2a+3cos2a)^2+(cos2a-3sin2a)^2 = sin(2a)²+9cos(2a)²+cos(2a)²+9sin(2a)² = 1+9 = 10

Answer 2

Давайте раскроем скобки и упростим выражение.

(sin2a + 3cos2a)^2 + (cos2a - 3sin2a)^2

Первое слагаемое в квадрате: (sin2a)^2 + 2(sin2a)(3cos2a) + (3cos2a)^2

Второе слагаемое в квадрате: (cos2a)^2 - 2(cos2a)(3sin2a) + (3sin2a)^2

Раскроем квадраты:

(sin2a)^2 = sin^2(2a) (cos2a)^2 = cos^2(2a)

(3cos2a)^2 = 9(cos2a)^2 = 9cos^2(2a) (3sin2a)^2 = 9(sin2a)^2 = 9sin^2(2a)

Теперь у нас получается:

sin^2(2a) + 6sin(2a)cos(2a) + 9cos^2(2a) + cos^2(2a) - 6cos(2a)sin(2a) + 9sin^2(2a)

Обратите внимание, что мы имеем одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, в результате они сокращаются:

sin^2(2a) + 9cos^2(2a) + cos^2(2a) + 9sin^2(2a)

Теперь сложим слагаемые:

10sin^2(2a) + 10cos^2(2a)

Так как sin^2(2a) + cos^2(2a) = 1 (тождество Пифагора), то мы можем заменить выражение на 10:

10sin^2(2a) + 10cos^2(2a) = 10

Таким образом, упрощенное выражение равно 10.