Question

ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ Таня и Вера играют в игру. У Тани есть карточки с числами от 1 до 36. Она расставляет их в некотором порядке по кругу. Для каждых двух соседних чисел Вера считает их разность, вычитая из большего числа меньшее, и выписывает получившиеся 36 чисел себе в блокнот. После этого Вера отдает Тане количество конфет, равное наименьшему числу из выписанных в блокнот. Таня выкладывает карточки так, чтобы получить как можно больше конфет. Какое наибольшее количество конфет она может получить?

Answer 1

Таня и Вера играют в игру. У Тани есть карточки с числами от 1 до 36. Она расставляет их в некотором порядке по кругу. Для каждых двух соседних чисел Вера считает их разность, вычитая из большего числа меньшее, и выписывает получившиеся 36 чисел себе в блокнот. После этого Вера отдает Тане количество конфет, равное наименьшему числу из выписанных в блокнот. Таня выкладывает карточки так, чтобы получить как можно больше конфет. Какое наибольшее количество конфет она может получить?

Обращаю ваше внимание на карточку с числом 18. Разница между ним и всеми оставшимися числами не более 17 (36 пока что во внимание не берем).

Значит, любая разность с участием числа 18 будет не более 17 (опять же на 36 внимание пока что не обращаем).

Таким образом наиболее выгодный вариант расстановки для Тани - 17 конфет, ибо нет возможности составить ряд с разностью в 18.

Ряд, при котором она получит 17 конфет (расставляем по кругу): 1, 19, 2, 20, 3, 21, …, 17, 35, 18, 36.

Ответ: 17.

Answer 2

Давайте рассмотрим, как Таня может расставить числа на карточках, чтобы максимизировать количество получаемых конфет.

Если Таня уложит числа по порядку от 1 до 36, то Вера получит следующие разности: 1-2, 2-3, 3-4, ..., 35-36, 36-1.

Обратите внимание, что все разности будут равны -1. Таким образом, Вера получит всего одну конфету.

Чтобы получить больше конфет, Тане следует расставить числа так, чтобы минимизировать наименьшую разность.

Мы можем заметить, что для максимизации минимальной разности, числа на карточках должны быть как можно ближе друг к другу. Для этого мы можем выбрать числа с наибольшим общим делителем, так как наибольший общий делитель двух чисел будет давать наименьшую разность при вычитании.

Наибольший общий делитель для последовательных чисел (1 и 2, 2 и 3, и так далее) всегда равен 1. Поэтому наибольшая разность будет равна 1.

Итак, Таня может получить наибольшее количество конфет, равное 1.