Question

Розв'яжіть нерівність X2– 2 x - 3 > 0​

Answer 1

Ответ:

x²-2x-3>0

D=b²-4ac=4-4*(-3)=4+12=16

x₁,₂=-b±√D/2a

x₁=2+4/2=6/2=3

x₂=2-4/2=-2/2=-1

x²-2x-3=a(x-x₁)(x-x₂)

(x-3)(x+1)>0

x∈(-∞;-1)∪(3;+∞)

Объяснение:

Answer 2

Для того чтобы розв'язати дану квадратну нерівність $x^2 - 2x - 3 > 0$, ми можемо скористатися методом знаходження інтервалів, на яких нерівність задовольняється. Спершу знайдемо критичні точки, де ліва та права частини нерівності стають рівними одне одному.

Критичні точки визначаються рівнянням $x^2 - 2x - 3 = 0$. Ми можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня або формули дискримінанта.

Дискримінант $D$ квадратного рівняння $ax^2 + bx + c = 0$ обчислюється за формулою $D = b^2 - 4ac$. У нашому випадку $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$, тому:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$

Оскільки $D > 0$, рівняння має два різних корені:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}.$

Таким чином, ми отримали $x_1 = 3$ та $x_2 = -1$.

Тепер ми маємо три інтервали: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ та $(3, +\infty)$. Ми можемо обрати по одній точці з кожного інтервалу та підставити їх в нерівність для визначення того, де вона задовольняється:

1. Для інтервалу $(-\infty, -1)$ можемо взяти $x = -2$:

   $(-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0.$

2. Для інтервалу $(-1, 3)$ можемо взяти $x = 0$:

   $0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3 < 0.$

3. Для інтервалу $(3, +\infty)$ можемо взяти $x = 4$:

   $4^2 - 2 \cdot 4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0.$

Таким чином, нерівність виконується на інтервалах $(- \infty, -1)$ та $(3, +\infty)$, тобто розв'язком нерівності є об'єднання цих інтервалів:

$x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty).$