Question

Решить уравнение(желательно с объяснением) y"+6y'+9y=10sinx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения:

$ay'' + by' + cy = g(x),$

где $a$, $b$ и $c$ - константы, а $g(x)$ - функция правой части.

В вашем уравнении: $y'' + 6y' + 9y = 10\sin(x).$

Для начала, решим соответствующее однородное уравнение:

$y'' + 6y' + 9y = 0.$

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения будет иметь вид:

$r^2 + 6r + 9 = 0.$

Решая это квадратное уравнение относительно $r$, получаем:

$(r + 3)^2 = 0,$

что дает единственное решение $r = -3$ кратности 2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

$y_h(x) = (c_1 + c_2x)e^{-3x}.$

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть является $10\sin(x)$, можно предположить, что частное решение будет иметь вид:

$y_p(x) = A\sin(x) + B\cos(x).$

Подставляем это в уравнение:

$y_p'' + 6y_p' + 9y_p = -A\sin(x) - B\cos(x) + 6(A\cos(x) - B\sin(x)) + 9(A\sin(x) + B\cos(x)) = 10\sin(x).$

Собираем коэффициенты при одинаковых функциях:

$-A + 6B + 9A = 0 \quad \text{(коэффициент при }\sin(x)\text{)},$ [-B + 6A + 9B = 10 \quad \text{(коэффициент при }\cos(x)\text{)}.]

Решая эту систему уравнений, мы получаем $A = -\frac{2}{5}$ и $B = -\frac{1}{5}$.

Таким образом, частное решение имеет вид:

$y_p(x) = -\frac{2}{5}\sin(x) - \frac{1}{5}\cos(x).$

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения:

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = (c_1 + c_2x)e^{-3x} - \frac{2}{5}\sin(x) - \frac{1}{5}\cos(x).$

Где $c_1$ и $c_2$ - произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий, если таковые имеются.