Question

1. Проверить, лежат ли точки А(1,2,-3), В(0,-1,2), C(t,2,1) и D(0,1,-3) в одной плоскости.

Answer 1

Ответ:

$A(1;2;-3)\ \ ,\ \ B(0;-1;2)\ \ ,\ \ C(7;2;1)\ \ ,\ \ D(0;1;-3)\\\\\overline {AB}=(-1;-3;5)\ \ ,\ \ \overline {AC}=(6;0;4)\ \ ,\ \ \overline {AD}=(-1;-1;0)\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}-1&-3&5\\6&0&4\\-1&-1&0\end{array}\right|=-1\cdot (-12)+1\cdot (-4-30)=-22\ne 0\ \ \ \Rightarrow$

Точки не лежат в одной плоскости .

Answer 2

Чтобы проверить, лежат ли точки A(1, 2, -3), B(0, -1, 2), C(t, 2, 1) и D(0, 1, -3) в одной плоскости, мы можем воспользоваться определителем матрицы. Точки лежат в одной плоскости, если определитель матрицы, составленной из векторов AB, AC и AD, равен нулю.

Вектор AB = B - A = (0 - 1, -1 - 2, 2 + 3) = (-1, -3, 5) Вектор AC = C - A = (t - 1, 2 - 2, 1 + 3) = (t - 1, 0, 4) Вектор AD = D - A = (0 - 1, 1 - 2, -3 + 3) = (-1, -1, 0)

Теперь мы составляем матрицу из этих векторов:

| -1 -3 5 | | t-1 0 4 | | -1 -1 0 |

Чтобы проверить, лежат ли точки в одной плоскости, нужно вычислить определитель этой матрицы. Если он равен нулю, то точки лежат в одной плоскости.

Определитель этой матрицы можно вычислить как сумму произведений элементов главной диагонали умноженных на миноры (дополнительные миноры), то есть:

det = (-1) * ((0 * 0) - (-1) * (4)) - (-3) * ((t - 1) * (0) - (-1) * (4)) + (5) * ((t - 1) * (0) - (2) * (4)) det = (-1) * (0 + 4) - (-3) * (-4) + 5 * (-2t + 8) det = -4 + 12 - 10t + 40 det = 48 - 10t

Теперь, чтобы точки лежали в одной плоскости, определитель должен равняться нулю:

48 - 10t = 0 10t = 48 t = 4.8

Итак, если t = 4.8, то точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.