Question

Помогите, пожалуйста) Дам 30 баллов! Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^2 – 2х + 2, прямыми х =1, х = 2 и осью ОХ.

Answer 1

Ответ: $\frac{4}{3}$

Объяснение:

Площадь данной фигуры находится при помощи определенного интеграла. Известны его границы из условия x = 1; 2

$F(x) = \int\ {x^2 -2x + 2} \, dx = \int\ {x^2} \, dx - \int\ {2x} \, dx + \int\ {2} \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 +2x +C$

Мы получили первообразную функции. Подставляем в нее значения x:

$\int\limits^2_1 {x^2 - 2x + 2} \, dx = F(2) - F(1) = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} -1 +2) = \frac{4}{3}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х^2 – 2х + 2, прямыми х = 1, х = 2 и осью ОХ.

Сначала давайте нарисуем график функции и указанных прямых, чтобы лучше понять, какая фигура ограничивается этими элементами.

График функции y = x^2 – 2x + 2 имеет форму параболы, направленной вверх. Прямые x = 1 и x = 2 вертикальные и проходят через точки (1, 0) и (2, 0) соответственно.

Давайте найдем точки пересечения параболы с этими прямыми:

1. Когда x = 1: y = 1^2 - 2 * 1 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1. Таким образом, точка пересечения на прямой x = 1: (1, 1).

2. Когда x = 2: y = 2^2 - 2 * 2 + 2 = 4 - 4 + 2 = 2. Таким образом, точка пересечения на прямой x = 2: (2, 2).

Теперь у нас есть следующие точки: A(1, 1), B(2, 2), C(1, 0) и D(2, 0).

Фигура, ограниченная графиком функции, прямыми и осью OX, выглядит как треугольник ABC. Для вычисления площади этого треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника по координатам его вершин:

Площадь ABC = 0.5 * |(x_A - x_C) * (y_B - y_A) - (x_A - x_B) * (y_C - y_A)|

Подставим координаты вершин: x_A = 1, y_A = 1 x_B = 2, y_B = 2 x_C = 1, y_C = 0

Подставляя значения в формулу, получаем:

Площадь ABC = 0.5 * |(1 - 1) * (2 - 1) - (1 - 2) * (0 - 1)| = 0.5 * |1 - (-1)| = 0.5 * 2 = 1.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 – 2x + 2, прямыми x = 1, x = 2 и осью OX, равна 1 квадратному единице.