Question

Знайти проміжки зростання і спадання функції: y=x-1-x^3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)=x-1-x³

f'(x)=1-0-2x=1-2x

1-2x=0

-2x=-1

x=1/2=0,5  критична точка

_     +   0,5        -      

Хmax.=0,5

f'(x) > 0 на проміжку (-∞;0,5]

f'(x) < 0 на проміжку  [0,5;+∞)

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання та спадання функції можна використовувати похідну. Спершу знайдемо похідну функції y = x - 1 - x^3:

y = x - 1 - x^3 y' = 1 - 3x^2

Тепер знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю (це можуть бути точки мінімуму або максимуму) і точки, де похідна не існує (де друга похідна дорівнює нулю).

1. Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю: 1 - 3x^2 = 0 3x^2 = 1 x^2 = 1/3 x = ±√(1/3)

Тепер обчислимо значення похідної другого порядку (друга похідна) для визначення можливих точок перегину:

y'' = -6x

Знайдемо значення x, при яких друга похідна дорівнює нулю: -6x = 0 x = 0

Таким чином, маємо наступні значення x: x = -√(1/3), x = 0, x = √(1/3)

Тепер розглянемо проміжки між цими точками на числовій прямій та визначимо, чи функція зростає або спадає на цих проміжках, використовуючи перший похідний та інтервали знакозмінності:

1. Для x < -√(1/3): Підставимо x = -1 в похідну: 1 - 3(-1)^2 = -2 (від'ємне значення) Це означає, що на цьому проміжку функція спадає.

2. Для -√(1/3) < x < 0: Підставимо x = -√(1/3)/2 в похідну: 1 - 3(-√(1/3)/2)^2 = 1/2 (положителне значення) Це означає, що на цьому проміжку функція зростає.

3. Для 0 < x < √(1/3): Підставимо x = √(1/3)/2 в похідну: 1 - 3(√(1/3)/2)^2 = 1/2 (положителне значення) Це означає, що на цьому проміжку функція зростає.

4. Для x > √(1/3): Підставимо x = 1 в похідну: 1 - 3(1)^2 = -2 (від'ємне значення) Це означає, що на цьому проміжку функція спадає.

Отже, проміжки зростання та спадання функції y = x - 1 - x^3 такі: -∞ до -√(1/3): спадання -√(1/3) до 0: зростання 0 до √(1/3): зростання √(1/3) до +∞: спадання