Question

Знайдіть первісну для функції f(x)=(1/Vx)(V-це тіпа корінь), графік якої проходить через точку М(9;-4).

Answer 1

$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-0,5}$

Загальний вигляд первісних для функції $f(x)$ має вигляд:

$F(x) = \dfrac{x^{-0,5 + 1} }{-0,5 + 1} + C = \dfrac{x^{0,5}}{0,5} + C = 2\sqrt{x} + C$

Точка $M(9; \ -4)$ — точка, через яку проходить первісна $F(x)$

$-4 = 2\sqrt{9} + C\\-4 = 2 \cdot 3 + C\\-4 = 6 + C\\C = -10$

Отже, $F(x) = 2\sqrt{x} - 10$

Відповідь: $F(x) = 2\sqrt{x} - 10$

Answer 2

Для знаходження первісної функції f(x), спершу треба знайти її вигляд.

Функція дана як $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Пошук первісної $F(x)$ для цієї функції полягатиме у знаходженні антипохідної від $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) \, dx$

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$

Для знаходження антипохідної від $\frac{1}{\sqrt{x}}$ використаємо правило заміни змінної. Позначимо $u = \sqrt{x}$, тоді $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$. Підставимо це вираження у вираз для $F(x)$:

$F(x) = 2 \int du$

$F(x) = 2u + C$

Де $C$ - це константа інтегрування. Враховуючи, що $u = \sqrt{x}$, маємо:

$F(x) = 2\sqrt{x} + C$

Тепер, щоб знайти значення константи $C$, використаємо інформацію, що графік проходить через точку $M(9, -4)$:

$F(9) = 2\sqrt{9} + C = 6 + C = -4$

Звідси $C = -4 - 6 = -10$.

Отже, первісна для функції $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, графік якої проходить через точку $M(9, -4)$, має вигляд:

$F(x) = 2\sqrt{x} - 10$