Question

Докажите, что функция f возрастает на множестве R: б)f(x) = x^5 + 4x в) f(x) =sin x + 3x/2

Answer 1

$f(x) = x^5 + 4x$

Найдем производную:

$f'(x) = 5x^4 + 4$

Выражение $x^4$ принимает только неотрицательные значения. Значит, выражение $5x^4+4$ принимает только положительные значения.

Таким образом, производная функции на всей области определения положительна. На промежутках, где производная положительна, функция возрастает. Значит, функция возрастает на всей области определения R.

$f(x) = \sin x+\dfrac{3x}{2}$

$f'(x) = \cos x+\dfrac{3}{2}$

Найдем область значений производной:

$-1\leq \cos x\leq1$

$-1+\dfrac{3}{2} \leq \cos x+\dfrac{3}{2} \leq1+\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{1}{2} \leq \cos x+\dfrac{3}{2} \leq\dfrac{5}{2}$

Производная принимает только положительные значения на всей области определения. На промежутках, где производная положительна, функция возрастает. Соответственно, функция возрастает на всей области определения R.

Answer 2

Для доказательства возрастания функций на множестве $\mathbb{R}$, нам нужно показать, что производная функции всегда неотрицательна.

а) $f(x) = x^5 + 4x$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 5x^4 + 4.$

2. Покажем, что производная всегда неотрицательна: $f'(x) = 5x^4 + 4 \geq 0.$

Так как $5x^4$ всегда неотрицательно, а $4$ также неотрицательно, то сумма $5x^4 + 4$ также неотрицательна. Это означает, что производная $f'(x)$ всегда неотрицательна, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всем множестве $\mathbb{R}$.

б) $f(x) = \sin x + \frac{3x}{2}$:

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \cos x + \frac{3}{2}.$

2. Покажем, что производная всегда неотрицательна: $f'(x) = \cos x + \frac{3}{2} \geq \frac{1}{2} > 0.$

Так как $\cos x$ ограничена между -1 и 1, а $\frac{3}{2}$ положительно, то сумма $\cos x + \frac{3}{2}$ всегда положительна. Это означает, что производная $f'(x)$ всегда положительна, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на всем множестве $\mathbb{R}$.

Таким образом, функции $f(x) = x^5 + 4x$ и $f(x) = \sin x + \frac{3x}{2}$ доказано, что возрастают на множестве $\mathbb{R}$.