Question

Помогите найти первообразную f(x) = (4x+ 3)^7

Answer 1

$\displaystyle{\large} f(x)=(4x+3)^7\\\\F(x)=\frac{1}{4}*\frac{(4x+3)^8}{8}=\frac{(4x+3)^8}{32}$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам найти первообразную для данной функции. Давайте начнем:

Дано: f(x) = (4x + 3)^7

Мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям для интегрирования данной функции. Метод интегрирования по частям имеет вид:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Выберем:

u = (4x + 3)^7 dv = dx

Тогда:

du = 7(4x + 3)^6 * 4 dx v = x

Применим формулу:

∫ (4x + 3)^7 dx = x(4x + 3)^7 - ∫ x * 7(4x + 3)^6 * 4 dx

Упростим:

∫ (4x + 3)^7 dx = x(4x + 3)^7 - 28 ∫ x(4x + 3)^6 dx

Теперь можем продолжить интегрирование:

∫ x(4x + 3)^6 dx

Снова используем интегрирование по частям:

u = x dv = (4x + 3)^6 dx

Тогда:

du = dx v = ∫ (4x + 3)^6 dx

Теперь у нас есть:

∫ x(4x + 3)^6 dx = x * (1/7) * (4x + 3)^7 - ∫ (1/7) * (4x + 3)^7 dx

Теперь мы можем выразить исходную интеграл через получившийся интеграл:

∫ (4x + 3)^7 dx = x * (4x + 3)^7 - 28 * (1/7) * x * (4x + 3)^7 + 28 * (1/7) * ∫ (4x + 3)^7 dx

Упростим выражение:

∫ (4x + 3)^7 dx = (1/7) * x * (4x + 3)^7 + 4 * ∫ (4x + 3)^7 dx

Теперь выразим исходный интеграл:

∫ (4x + 3)^7 dx = (7/27) * x * (4x + 3)^7 + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Итак, первообразная для f(x) = (4x + 3)^7 равна:

F(x) = (7/27) * x * (4x + 3)^7 + C

где C - произвольная постоянная.