Question

Найти производную функции (подробно) у= 1 --------- (1+3х)^4

Answer 1

Ответ:

$-\frac{12}{(1+3x)^5}.$

Объяснение:

Будем пользоваться двумя формулами:

а) $(\frac{f(x)}{g(x)})^\prime = \frac{f^\prime g - g^\prime f}{g^2}.$

b) $f(g(x))^\prime = g^{\prime}(x)f^{\prime}(g(x)).$

воспользуемся формулой а) для $f(x) = 1, g(x) = (1 + 3x)^4:$

$(\frac{1}{(1+3x)^4})^\prime =\frac{ 1^\prime (1+3x) - ((1 + 3x)^4)^\prime \cdot 1}{(1 + 3x)^8} =$

учитывая, что производная константы (т.е. 1) равна нулю:

$= \frac{ - ((1 + 3x)^4)^\prime}{(1 + 3x)^8} =$

Посчитаем $((1 + 3x)^4)^\prime$ по правилу b), если $f(x) = x^4, g(x) = 1 + 3x$:

$((1 + 3x)^4)^\prime = 3\cdot 4(1+3x)^3 = 12(1+3x)^3.$

Итого, получаем:

 $= \frac{-12(1 +3x)^3}{(1 + 3x)^8} = -\frac{12}{(1+3x)^5}.$

Answer 2

Давайте найдем производную функции y = 1 / (1 + 3x)^4 с помощью правила дифференцирования сложной функции (цепного правила) и правила дифференцирования степенной функции.

Шаг 1: Запишем данную функцию в виде степенной функции: y = (1 + 3x)^(-4).

Шаг 2: Применим правило дифференцирования степенной функции: Если у нас есть функция вида f(x) = u^n, то её производная f'(x) равна n * u^(n-1) * u', где u' - производная функции u относительно x.

В данном случае u = 1 + 3x, n = -4. Таким образом, производная функции y по x будет: y' = -4 * (1 + 3x)^(-5) * (3).

Шаг 3: Упростим полученное выражение: y' = -12 * (1 + 3x)^(-5).

Итак, производная функции y = 1 / (1 + 3x)^4 по x равна -12 * (1 + 3x)^(-5).