Question

Найти наибольшее значение функции y = x4-2*x^2+3 на промежутке [-1;3]

Answer 1

Ответ и подробное решение на фото:

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ на промежутке $[-1, 3]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, то есть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
2. Оцените значения функции в найденных критических точках и на концах заданного промежутка.
3. Выберите наибольшее из найденных значений.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$: $y' = 4x^3 - 4x$

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: $4x^3 - 4x = 0$ $4x(x^2 - 1) = 0$ $x(x - 1)(x + 1) = 0$

Из этого уравнения видно, что критическими точками являются $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$.

2. Оценим значения функции в найденных критических точках и на концах промежутка:

• При $x = -1$: $y = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
• При $x = 0$: $y = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$
• При $x = 1$: $y = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

Теперь оценим значения на концах промежутка:

• При $x = -1$: $y = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 2$
• При $x = 3$: $y = 3^4 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 81 - 18 + 3 = 66$

3. Выберем наибольшее из найденных значений: $66$.

Итак, наибольшее значение функции $y = x^4 - 2x^2 + 3$ на промежутке $[-1, 3]$ равно $66$.