Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х2-4х+6; у=1; х=1; х=3

Answer 1

Решение:

Вспомним формулу Ньютона-Лейбница: $\int\limits^b_a f(x) \, dx = F(x) |^b_a = F(b)-F(a)$

Следуя этой формуле найдём определённый интеграл:

$\int\limits^3_1 (x^2-4x+6-1) \, dx = \Big(\dfrac{x^3}{3}-2x^2+5x\Big)|^3_1= \\ \\ 9-18+15-\Big(\dfrac{1}{3}-2+5\Big)=6-\dfrac{10}{3}=\dfrac{18-10}{3}=\dfrac{8}{3}=2\dfrac{2}{3}$

Ответ: $\boxed{S=2\dfrac{2}{3}}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти точки пересечения этих линий и затем вычислить интеграл от функции, ограничивающей фигуру, между найденными точками.

Для начала найдем точки пересечения линий у = х^2 - 4х + 6 и у = 1:

Уравнение х^2 - 4х + 6 = 1: х^2 - 4х + 5 = 0.

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или используя формулу дискриминанта.

Квадратный корень: x = (-(-4) ± √((-4)^2 - 415)) / (2*1) x = (4 ± √(16 - 20)) / 2 x = (4 ± √(-4)) / 2

Так как подкоренное выражение отрицательное, то уравнение не имеет вещественных корней и линии у = х^2 - 4х + 6 и у = 1 не пересекаются. Следовательно, фигура, ограниченная этими линиями, не существует.

Поэтому площадь такой фигуры будет равна 0.