Question

Решите уравнения методом введения новой переменной: 1) log2(2x ^2+x −2) + log2(2x^2+x)=12) √х^2−2х+4 (вся левая часть под корнем) = х^2−2х+2

Answer 1

Вроде бы решил оба примера, но в первом не очень уверен. Всё равно прикреплю, посмотришь там уже, правильно или нет:

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и решим их методом введения новой переменной.

1. Уравнение: log₂(2x² + x - 2) + log₂(2x² + x) = 1

Для начала, объединим логарифмы, используя свойство логарифмов log(a) + log(b) = log(a * b): log₂[(2x² + x - 2) * (2x² + x)] = 12

Теперь раскроем скобки: log₂(4x⁴ + 3x³ - 2x² + 2x³ + x² - 2x) = 12 log₂(4x⁴ + 5x³ - x² - 2x) = 12 log₂(x⁴ * (4 + 5x - x²/x² - 2/x)) = 12 log₂(x⁴ * (4 + 5/x - 1 - 2/x)) = 12 log₂(x⁴ * (3 + 3/x)) = 12 log₂(3x⁴ * (1 + 1/x)) = 12

Теперь мы можем убрать логарифм: 3x⁴ * (1 + 1/x) = 2¹²

Раскроем скобки: 3x⁴ + 3x³ = 4096

Перенесем все в левую часть: 3x⁴ + 3x³ - 4096 = 0

Введем новую переменную u = x³: 3u² + 3u - 4096 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно u. Для этого можно воспользоваться квадратным трехчленом: u = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 3, b = 3 и c = -4096: u = (-3 ± √(3² - 4 * 3 * -4096)) / (2 * 3) u = (-3 ± √(9 + 49152)) / 6 u = (-3 ± √49161) / 6 u = (-3 ± 221) / 6

Так как u не может быть отрицательным, мы берем только положительное значение: u = (221 - 3) / 6 u = 218 / 6 u = 109 / 3

Теперь найдем x, подставив обратно значение u: x³ = 109 / 3 x = ∛(109 / 3)

2. Уравнение: √(x² - 2x + 4) = x² - 2x + 2

Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: x² - 2x + 4 = (x² - 2x + 2)²

Раскроем скобку справа: x² - 2x + 4 = x⁴ - 4x³ + 8x² - 8x + 4

Перенесем все в левую часть: x⁴ - 4x³ + 7x² - 6x = 0

Так как это уравнение четвертой степени, его решение может быть довольно сложным. Мы не можем ввести новую переменную, чтобы упростить его, как в предыдущем случае. Вычисление корней этого уравнения требует использования численных методов или специализированного программного обеспечения.