Question

Решите: 2x^2-7x-9<0 потом x^2>49 и (x+3)(x-4)(x-6)<0

Answer 1

Смотри вложение ...........

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство поочередно:

1. $2x^2 - 7x - 9 < 0$:

Для начала найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$:

$2x^2 - 7x - 9 = (2x + 3)(x - 3).$

Корни этого уравнения: $x_1 = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = 3$.

Теперь построим таблицу знаков на интервалах $(-\infty, -\frac{3}{2}), (-\frac{3}{2}, 3), (3, +\infty)$:

$$\begin{array}{c|ccc|c} & 2x + 3 & x - 3 & 2x^2 - 7x - 9 & \text{Знак} \\ \hline x < -\frac{3}{2} & - & - & + & \text{+} \\ -\frac{3}{2} < x < 3 & + & - & - & \text{-} \\ x > 3 & + & + & + & \text{+} \\ \end{array}$$

Мы видим, что неравенство $2x^2 - 7x - 9 < 0$ выполняется на интервале $-\frac{3}{2} < x < 3$.

2. $x^2 > 49$:

Это неравенство означает, что $x^2 - 49 > 0$. Разложим левую часть на множители:

$x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7).$

Корни этого уравнения: $x_3 = -7$ и $x_4 = 7$.

Построим таблицу знаков на интервалах $(-\infty, -7), (-7, 7), (7, +\infty)$:

$$\begin{array}{c|cc|c} & x + 7 & x - 7 & \text{Знак} \\ \hline x < -7 & - & - & - \\ -7 < x < 7 & + & - & + \\ x > 7 & + & + & + \\ \end{array}$$

Мы видим, что неравенство $x^2 - 49 > 0$ выполняется на интервалах $x < -7$ и $x > 7$.

3. $(x + 3)(x - 4)(x - 6) < 0$:

Рассмотрим каждый из множителей по отдельности:

• $x + 3$ меняет знак с отрицательного на положительный при $x > -3$.
• $x - 4$ меняет знак с отрицательного на положительный при $x > 4$.
• $x - 6$ меняет знак с отрицательного на положительный при $x > 6$.

Теперь построим таблицу знаков для произведения $(x + 3)(x - 4)(x - 6)$ на интервалах $(- \infty, -3), (-3, 4), (4, 6), (6, +\infty)$:

$$\begin{array}{ccccc}& x+3& x-4& x-6& (x+3)(x-4)(x-6)\\ x<-3& -& -& -& -\\ -3<x<4& +& -& -& +\\ 4<x<6& +& +& -& -\\ \end{array}$$ 0 0