Question

Знайдить екстреумемы функций f(x)=x²+8*20²/x+20

Answer 1

$f(x)=x^2+\dfrac{8\cdot 20^2}{x}+20\\\\f'(x)=2x+\dfrac{-8\cdot 20^2}{x^2}=\dfrac{2x^3-8\cdo00t 20^2}{x^2}=\dfrac{2(x^3-1600)}{x^2}=0\\\\\\x^3-1600=0\ \ ,\ \ x=\sqrt[3]{1600}\ \ ,\ \ x=4\sqrt[3]{25}\\\\znaki\ f'(x):\ \ \ ---(4\sqrt[3]{25})+++\\\\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \searrow \qquad \ \ \ \ \ \ \ \nearrow \\\\x_{min}=4\sqrt[3]{25}\ \ ,$

$y_{min}=16\cdot 5\sqrt[3]5+\frac{3200}{4\sqrt[3]{25}}+20=\dfrac{1600+3200}{4\sqrt[3]{25}}+20=\dfrac{1200}{\sqrt[3]{25}} +20=\\\\=\dfrac{20(60+\sqrt[3]{25})}{\sqrt[3]{25}}\approx 430,39$

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції f(x) = x² + 8 * 20² / x + 20 потрібно знайти похідну функції та вирішити рівняння, де похідна дорівнює нулю. За допомогою похідної можна визначити, чи є точки, де функція має локальні максимуми або мінімуми.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f(x) = x² + 8 * 20² / x + 20

   f'(x) = 2x - 8 * 20² / x²

2. Поставимо похідну дорівнюючи нулю та розв'яжемо рівняння: 2x - 8 * 20² / x² = 0

   2x³ - 8 * 20² = 0

   x³ - 8 * 20² / 2 = 0

   x³ - 8 * 400 = 0

   x³ - 3200 = 0

3. Розв'яжемо рівняння x³ - 3200 = 0, щоб знайти значення x: x³ = 3200

   x = ∛3200

   x ≈ 14.420

Таким чином, знайдено одну точку, де можлива наявність екстремуму. Щоб визначити, чи це мінімум чи максимум, необхідно проаналізувати знаки похідної по обидва боки від цієї точки.

1. При x < 14.420: f'(x) = 2x - 8 * 20² / x² < 0 (оскільки x² завжди позитивний)

2. При x > 14.420: f'(x) = 2x - 8 * 20² / x² > 0

Це означає, що функція спадає перед точкою x ≈ 14.420 та зростає після цієї точки. Тому точка x ≈ 14.420 може бути мінімумом.

Підсумовуючи, можна сказати, що функція f(x) = x² + 8 * 20² / x + 20 має локальний мінімум близько x ≈ 14.420.