Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2 и прямой y=11​

Answer 1

$y=x^2+2\ \ ,\ \ y=11\\\\\\x^2+2=11\ \ ,\ \ x^2=9\ \x=\pm 3\\\\\\S=\int\limits^3_{-3}\, (11-x^2-2) \, dx=\int\limits^3_{-3}\, (9-x^2)\, dx=\Big(9x-\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-3}^3=\\\\\\=27-\dfrac{27}{3}-\Big(-27+\dfrac{27}{3}\Big)=54-\dfrac{54}{3}=\dfrac{108}{3}=36$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2 и прямой y=11, нужно определить точки их пересечения и вычислить интеграл от разности их уравнений вдоль оси x. Первым шагом найдем точки пересечения:

Уравнение параболы: y = x^2 + 2 Уравнение прямой: y = 11

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения: x^2 + 2 = 11

Вычитаем 2 из обеих сторон: x^2 = 9

Извлекаем квадратный корень: x = ±3

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках (-3, 11) и (3, 11).

Теперь мы можем найти площадь между кривой и прямой с помощью определенного интеграла:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - уравнение параболы, g(x) - уравнение прямой, [a, b] - интервал, на котором находится фигура.

В данном случае a = -3, b = 3.

Интеграл будет выглядеть следующим образом: S = ∫[-3, 3] ((x^2 + 2) - 11) dx.

Вычислим этот интеграл: S = ∫[-3, 3] (x^2 - 9) dx S = [(x^3 / 3) - 9x] from -3 to 3 S = [(3^3 / 3) - 9 * 3] - [(-3^3 / 3) - 9 * -3] S = [27 / 3 - 27] - [-27 / 3 + 27] S = 9 - 27 + 9 + 27 S = 18.

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2 и прямой y=11, равна 18 квадратным единицам.