Question

Найдите производную экстремума функции y= 3x^2 - x^3

Answer 1

Ответ:

x1=0 x2=2

Объяснение:

y'=3x(2-x)

отсюда

точки экстремума

0 и 2

Answer 2

Для поиска экстремумов функции сначала найдем её производную и приравняем её к нулю, чтобы найти точки, где производная пересекает ось x. Затем анализируем знак производной в окрестности этих точек, чтобы определить, является ли экстремум максимумом или минимумом.

Исходная функция: $y = 3x^2 - x^3$

Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx} (3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2$

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки, в которых она равна нулю: $6x - 3x^2 = 0$

Факторизуем уравнение: $3x(2 - x) = 0$

Отсюда получаем две возможные точки экстремума: $x = 0$ и $x = 2$.

Теперь проанализируем знаки производной в интервалах между и за пределами этих точек:

1. При $x < 0$: $6x - 3x^2 < 0$, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Значит, функция убывает.

2. Между $x = 0$ и $x = 2$: $6x - 3x^2 > 0$, так как $x$ влияет больше, чем $x^2$, и коэффициент перед $x$ положителен. Значит, функция возрастает.

3. После $x = 2$: $6x - 3x^2 < 0$, так как оба члена положительны, но коэффициент при $x^2$ больше. Значит, функция снова убывает.

Исходя из анализа знаков производной, мы видим, что точка $x = 2$ соответствует локальному максимуму, а точка $x = 0$ - локальному минимуму функции $y = 3x^2 - x^3$.