Question

Если y(x) решение дифференциального уравнения y'=(y+2)/(x+3) удовлетворяющее условию y(-2)= -1,тогда у(3) равно.. Чему равно?

Answer 1

Ответ:

$y(3)=4$

Объяснение:

Решение находится в приложенном файле

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения переменных.

Исходное дифференциальное уравнение:

y' = (y + 2) / (x + 3)

Разделим переменные, переместив dx на одну сторону и dy на другую:

(y + 2) dy = (x + 3) dx

Интегрируем обе части уравнения:

∫(y + 2) dy = ∫(x + 3) dx

(y^2 / 2 + 2y) = (x^2 / 2 + 3x) + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Используем начальное условие y(-2) = -1:

(-1^2 / 2 + 2(-1)) = (-2^2 / 2 + 3(-2)) + C1

(1/2 - 2) = (4/2 - 6) + C1

-3/2 = -2 + C1

C1 = -3/2 + 2

C1 = -3/2 + 4/2

C1 = 1/2

Теперь, зная значение постоянной C1, мы можем выразить y(x):

(y^2 / 2 + 2y) = (x^2 / 2 + 3x) + 1/2

y^2 + 2y = x^2 + 3x + 1

y^2 + 2y - x^2 - 3x - 1 = 0

Теперь, чтобы найти y(3), мы подставим x = 3 в это уравнение:

y^2 + 2y - 3^2 - 3(3) - 1 = 0

y^2 + 2y - 9 - 9 - 1 = 0

y^2 + 2y - 19 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-19) = 4 + 76 = 80

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня:

y = (-2 ± √80) / 2

y = (-2 ± 4√5) / 2

y = -1 ± 2√5

Теперь, чтобы определить значение y(3), мы должны выбрать одно из двух решений.

Подставим x = 3 в уравнение и найдём y:

y = -1 + 2√5

Таким образом, у(3) равно -1 + 2√5.