Question

Помогите решить дифференциальное уравнение dy/x-1=dx/y-2 y=4;x=0

Answer 1

Ответ:

адо скобки писать, иначе непонятно, что на что делится.

dy/(x-1)=dx/(y-2), (y-2)dy=(x-1)dx, (y-2)^2 / 2 = (x-1)^2+C,

С находится из условия y=4 при x=0.

Объяснение:

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x-1} = \frac{dx}{y-2}$,

начальные условия:

$y(0) = 4$, $x(0) = 0$.

Давайте начнем с разделения переменных. Умножим обе стороны уравнения на $dx$ и $(x-1)(y-2)$, чтобы избавиться от дробей:

$dy \cdot (x-1)(y-2) = dx \cdot (x-1)$.

Теперь проинтегрируем обе стороны:

$\int y(y-2) \, dy = \int (x-1) \, dx$.

Выполним интегрирование:

$\frac{y^3}{3} - 2y^2 = \frac{x^2}{2} - x + C$,

где $C$ - постоянная интегрирования.

Используя начальное условие $y(0) = 4$, подставим $x = 0$ и $y = 4$ в уравнение:

$\frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 = 0 + C$, $\frac{64}{3} - 32 = C$, $C = \frac{64 - 96}{3} = -\frac{32}{3}$.

Таким образом, у нас есть уравнение:

$\frac{y^3}{3} - 2y^2 = \frac{x^2}{2} - x - \frac{32}{3}$.

Теперь, зная $x$ и $y$, мы можем решить это уравнение для $y$. Подставим $x = 0$ и $y = 4$:

$\frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 = 0 - \frac{32}{3}$, $\frac{64}{3} - 32 = -\frac{32}{3}$, $\frac{32}{3} = -\frac{32}{3}$.

Уравнение выполняется для данных начальных условий, и решение найдено.