Question

ПОМОГИТЕ ПЖ!Доказать, что функция F(x)= - ( x)/5 + 4/x есть первообразная функции f(x)=- 1/5-4/х^2 на промежутке ( 0; ∞).

Answer 1

Функция F(x) является первообразной для функции f(x) , если :

F'(x) = f(x) .

$F(x)=-\frac{x}{5}+\frac{4}{x} =-\frac{1}{5}x+4x^{-1} \\\\F'(x)=-\frac{1}{5} (x)'+4(x^{-1})' =-\frac{1}{5}-4x^{-2}=-\frac{1}{5}-\frac{4}{x^{2}}\\\\f(x)=-\frac{1}{5}-\frac{4}{x^{2}} \\\\F'(x)=f(x)$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, вам следует найти производную функции F(x) и сравнить её с функцией f(x). Если производная F'(x) функции F(x) будет равна функции f(x), то F(x) действительно будет первообразной для функции f(x).

Итак, у нас есть:

• Функция F(x) = -x/5 + 4/x
• Функция f(x) = -1/5 - 4/x^2

Сначала найдем производную F'(x) функции F(x):

F(x) = -x/5 + 4/x

Применим правила дифференцирования:

F'(x) = (-1/5) - (4/x^2)

Теперь сравним F'(x) с функцией f(x):

F'(x) = (-1/5) - (4/x^2) f(x) = -1/5 - 4/x^2

Как видите, F'(x) и f(x) совпадают. Таким образом, производная F'(x) функции F(x) равна функции f(x), следовательно, функция F(x) = -x/5 + 4/x действительно является первообразной функции f(x) = -1/5 - 4/x^2 на заданном промежутке (0; ∞).