Question

Розв’яжіть тригонометричну нерівність: 2sin(x/2-π/4)≥-1

Answer 1

Ответ:фрахмет

Объяснение: теңсіздік формуласы қолданды

Answer 2

Для розв'язання даної тригонометричної нерівності, спершу виразимо sin(x/2 - π/4) і підставимо значення у нерівність:

2sin(x/2 - π/4) ≥ -1

Спершу поділимо обидві сторони на 2:

sin(x/2 - π/4) ≥ -1/2

Тепер виразимо sin(x/2 - π/4) через sin(x/2) та cos(π/4):

sin(x/2 - π/4) = sin(x/2)cos(π/4) - cos(x/2)sin(π/4) = (1/√2)(sin(x/2) - cos(x/2))

Отже, ми маємо:

(1/√2)(sin(x/2) - cos(x/2)) ≥ -1/2

Помножимо обидві сторони на √2:

sin(x/2) - cos(x/2) ≥ -√2/2

Тепер додамо cos(x/2) обидві сторони:

sin(x/2) ≥ cos(x/2) - √2/2

За допомогою тригонометричної ідентичності sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2:

sin(x/2) ≥ sin(π/4) - √2/2

sin(x/2) ≥ 1/√2 - √2/2

Знаючи, що sin(π/6) = 1/2 і sin(π/4) = √2/2:

sin(x/2) ≥ sin(π/6)

Враховуючи те, що sin(x/2) є монотонно зростаючою функцією на інтервалі [0, π]:

x/2 ≥ π/6

x ≥ π/3

Отже, розв'язок нерівності x ≥ π/3.