Question

При каких значениях параметра А корни уравнения х^3-12х^2+ах-60=0 можно рассматривать как длины сторон прямоугольного треугольника?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть x1, x2 - катеты, x3 - гипотенуза

Теорема Виета для кубического ур-я:

x1 + x2 + x3 = 12, отсюда x1 + x2 = 12 - x3

x1 * x2 * x3 = 60, отсюда x1 * x2 = 60/x3

По т. Пифагора

x3^2 = x1^2 + x2^2

(x1 + x2)^2 = (12 - x3)^2

(12 - x3)^2 = 144 - 24x3 + x3^2

x1^2  + x2^2 + 2x1*x2 = x3^2 +120/x3

x3^2 +120/x3 = 144 - 24x3 + x3^2

24x3 +120/x3 - 144 = 0    | *x3/24, где х3≠ 0. Мы можем это делать, т.к. x3 - не является корнем уравнения - 60 ≠ 0

x3^2 - 6x3 + 5 = 0

По Виета

x3 = 1        x3 = 5

Подставим x3 = 1  в выражение

1 - 12 + a - 60 = 0

a = 71

Подставим x3 = 5  в выражение

125 - 300 + 5a - 60 = 0

a = 47

Продолжаем искать корни

x1 + x2 = 11       (1)                   x1 + x2 = 7       (2)

x1 * x2 = 60,                           x1 * x2 = 12

отсюда x1 = 60/x2                отсюда x1 = 12/x2

Решаем 1-ую систему уравнений м-том подстановки

60/x2 + x2 = 11  | * x2

x2^2 - 11x2 + 60 = 0

D<0 - нет решения (Слава Богу)

Решаем 2-ую систему уравнений м-том подстановки

12/x2 + x2 = 7   |*x2

x2^2 - 7x2 + 12 = 0

x2 = 3                  x2 = 4

x1 = 4                   x1  = 3

Подставим x = 3  в выражение

27 - 108 + 3а - 60 = 0

а = 47

Подставим x = 4  в выражение

64 - 192 + 4а - 60 = 0

а = 47

Ответ:

корни данного уравнения x1 = 3   x2 = 4   x3 = 5

а = 47, a = 71

Answer 2

Для того чтобы корни уравнения $x^3 - 12x^2 + ax - 60 = 0$ можно было рассматривать как длины сторон прямоугольного треугольника, должны выполняться условия, известные как неравенство треугольника. Неравенство треугольника утверждает, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны.

Для данного уравнения, если его корни $x_1$, $x_2$ и $x_3$ предполагаются как длины сторон прямоугольного треугольника, то должны выполняться следующие неравенства:

1. $x_1 + x_2 > x_3$
2. $x_1 + x_3 > x_2$
3. $x_2 + x_3 > x_1$

Подставим корни $x_1$, $x_2$ и $x_3$ данного уравнения в эти неравенства и преобразуем их:

1. $x_1 + x_2 > x_3$ станет $x_1 + x_2 > x_1 + x_2$, что всегда выполняется.
2. $x_1 + x_3 > x_2$ станет $x_1 + x_2 + x_3 > x_2$, что также всегда выполняется.
3. $x_2 + x_3 > x_1$ станет $x_1 + x_2 + x_3 > x_1$, что также всегда выполняется.

Из этого следует, что для любых значений параметра $A$ корни этого уравнения можно рассматривать как длины сторон прямоугольного треугольника.