Question

Двенадцать человек играют в боулинг. Сколькими способами они могут разбиться на команды по четыре человека? пожалуйста, подробное решение(отмечу лучшим)

Answer 1

Ответ:

495

Объяснение:

Задача комбинаторики на сочетание. Применим формулу:

$\displaystyle \tt C_n^m=\frac{n!}{m! \cdot (n-m)!},$

где n - количество различных элементов в генеральной совокупности, m - количество различных элементов в выборке.

Так как n = 12 и m = 4, то

$\displaystyle \tt C_12^4=\frac{12!}{4! \cdot (12-4)!}=\frac{12!}{4! \cdot 8!}=\frac{8! \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{4! \cdot 8!}=\\\\=\frac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}=\frac{9 \cdot 10 \cdot 11}{1 \cdot 2}=\frac{9 \cdot 5 \cdot 11}{1}=9 \cdot 55 = 495.$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать сочетания. Сочетание из $n$ элементов по $k$ элементов (обозначается как $C(n, k)$) представляет собой способ выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка. Формула для сочетаний:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!},$

где $n!$ обозначает факториал числа $n$, то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до $n$.

В данной задаче у нас 12 человек, и мы хотим разбить их на команды по 4 человека. Таким образом, нам нужно вычислить количество сочетаний из 12 по 4:

$C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12 - 4)!}.$

Раскроем факториалы:

$12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1,$ $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1,$ $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1.$

Подставим все в формулу:

$C(12, 4) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}.$

Заметим, что множители $4!$ и $8!$ сокращаются:

$C(12, 4) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}.$

Рассчитаем числитель и знаменатель:

$C(12, 4) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 3.$

Теперь выполним умножение:

$C(12, 4) = 2970.$

Итак, существует 2970 способов разбить 12 человек на команды по 4 человека.