Question

Скорость движения точки v=(t) = (6t^2 + 5) м/с. Найдите путь, пройденный точкой за пять секунд от начала движения.

Answer 1

$v(t) = 6t^2 + 5$

$t_0=0c$

$t_1=5c$

$S=?$

$S=\int\limits^5_0 {(6t^2+5)} \, dt=(6*\frac{1}{3}t^3+5t)|_0^5=(2t^3+5t)|_0^5=$

$=(2*5^3+5*5)-(2*0^3+5*0)=250-25-0=225$

Ответ: 225 м

Answer 2

Для того чтобы найти путь, пройденный точкой за определенное время, нужно проинтегрировать скорость по времени.

Исходная скорость точки задана как $v(t) = 6t^2 + 5$ м/с.

Чтобы найти путь $s$, пройденный точкой за определенное время $t$, проинтегрируем скорость по времени от 0 до $t$:

$s(t) = \int_{0}^{t} v(t) dt = \int_{0}^{t} (6t^2 + 5) dt$

Интегрируем каждый член отдельно:

$s(t) = \int_{0}^{t} 6t^2 dt + \int_{0}^{t} 5 dt$

$s(t) = 2t^3 + 5t \bigg|_{0}^{t}$

Подставляем верхний предел интегрирования:

$s(t) = 2t^3 + 5t - (2 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0)$

$s(t) = 2t^3 + 5t$

Теперь мы можем найти путь, пройденный точкой за 5 секунд:

$s(5) = 2 \cdot 5^3 + 5 \cdot 5$

$s(5) = 250 + 25$

$s(5) = 275$

Таким образом, точка прошла 275 метров за 5 секунд от начала движения.