Question

Найти точки max и min функции: а)y=(x-3)^2 +2 б)y=cos⁡2x

Answer 1

$a.) y=(x-3)^{2} +2\\b.) y=cos(2x)\\\\a.) y=(x-3)^{2} +2$

Так как, эта функция представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, то она будет иметь только точку минимума, а именно:  $x = 3, y = 2$  (или же можна сразу записать координату точки -  $(3;2)$ )

$b.) y=cos(2x)$

Периодическая функция с периодом  $\pi$ . Функция имеет и точки минимума, и точки максимума. Запишем координаты точек минимума (их нескончаемо много, как и точек максимума) -  $(\frac{\pi}{2} +\pi n;-1)$ , где n - целые числа. Запишем координаты точек максимума -  $(\pi n;1)$, где n - целые числа.

Answer 2

Чтобы найти точки максимума и минимума данных функций, мы должны найти их критические точки, где производная равна нулю или не существует. После этого, мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, является ли точка максимумом или минимумом.

а) Функция y = (x - 3)^2 + 2:

1. Найдем производную функции y по x: y' = 2(x - 3).

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: 2(x - 3) = 0 x - 3 = 0 x = 3.

3. Так как производная положительна для всех значений x, отличных от 3, точка x = 3 является точкой минимума.

б) Функция y = cos^2(x):

1. Найдем производную функции y по x, используя цепное правило: y' = -2cos(x)sin(x).

2. Решим уравнение y' = 0 для нахождения критических точек: -2cos(x)sin(x) = 0.

   Это уравнение имеет два рода решений: либо cos(x) = 0, либо sin(x) = 0.

   • Для cos(x) = 0 имеем x = π/2 + πk, где k - целое число.
   • Для sin(x) = 0 имеем x = kπ, где k - целое число.

3. Теперь нам нужно анализировать значения второй производной (или окрестности критических точек), чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами. Однако в данном случае, учитывая, что функция y = cos^2(x) принимает значения от 0 до 1, у нас нет точек максимума или минимума в обычном понимании. Максимальное значение равно 1 (когда cos(x) = 0), а минимальное значение равно 0 (когда sin(x) = 0).

Итак, для функции y = (x - 3)^2 + 2, точка минимума находится в (3, 2), а для функции y = cos^2(x), нет точек максимума или минимума в обычном смысле.