Question

Найти производные 1. f(x) = sin(2x+3) + 3e^4x 2. f(x) = 6cos4x - e^2x 3. f(x) = 4√(2x-1) + 5^3x

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ f(x)=sin(2x+3)+3e^{4x}\\\\y'=2cos(2x+3)+12e^{4x}\\\\\\2)\ \ f(x)=6cos4x-e^{2x}\\\\f'(x)=-24sin4x-2e^{2x}\\\\\\3)\ \ f(x)=4\sqrt{2x-1}+5^{3x}\\\\f'(x)=\dfrac{4}{\sqrt{2x-1}}+3\cdot 5^{3x}\cdot ln5$

Answer 2

Давайте найдем производные для каждой из данных функций:

1. $f(x) = \sin(2x+3) + 3e^{4x}$

   Для этой функции есть два слагаемых, поэтому мы найдем производные каждого слагаемого по отдельности:

   Первое слагаемое: $\frac{d}{dx} \left( \sin(2x+3) \right)$

   Производная синуса: $\cos(2x+3)$

   Второе слагаемое: $\frac{d}{dx} \left( 3e^{4x} \right)$

   Производная экспоненты: $3 \cdot 4e^{4x} = 12e^{4x}$

   Итак, производная функции $f(x)$ будет: $f'(x) = \cos(2x+3) + 12e^{4x}$

2. $f(x) = 6\cos(4x) - e^{2x}$

   Тут также два слагаемых:

   Первое слагаемое: $\frac{d}{dx} \left( 6\cos(4x) \right)$

   Производная косинуса: $-6\sin(4x)$

   Второе слагаемое: $\frac{d}{dx} \left( -e^{2x} \right)$

   Производная экспоненты: $-e^{2x} \cdot 2 = -2e^{2x}$

   Итак, производная функции $f(x)$ будет: $f'(x) = -6\sin(4x) - 2e^{2x}$

3. $f(x) = 4\sqrt{2x-1} + 5^{3x}$

   Также имеем два слагаемых:

   Первое слагаемое: $\frac{d}{dx} \left( 4\sqrt{2x-1} \right)$

   Производная корня: $\frac{4}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{2}{\sqrt{2x-1}}$

   Второе слагаемое: $\frac{d}{dx} \left( 5^{3x} \right)$

   Для этого слагаемого мы используем правило дифференцирования степенной функции: $\frac{d}{dx} \left( a^{bx} \right) = a^{bx} \cdot \ln(a) \cdot b$

   Производная будет: $5^{3x} \cdot \ln(5) \cdot 3 = 3 \ln(5) \cdot 5^{3x}$

   Итак, производная функции $f(x)$ будет: $f'(x) = \frac{2}{\sqrt{2x-1}} + 3 \ln(5) \cdot 5^{3x}$

Не забудьте проверить эти производные, так как в ручных вычислениях всегда есть место для ошибок.